Задача 70153 На сторонах АС и АВ прямоугольного...

63fbb8ff4e2b240cfe0d528e

16.03.2023 17:03:31

На сторонах АС и АВ прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С отмечены точки М и N так, что AM = MC, AN = NB. Вписанная окружность треугольника AВC касается отрезка MN в точке L.
a) Докажите, что АС + AB = 3BC.
б) Известно, что ML = 2, LN = 1. Найдите радиус описанной окружности.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

16.03.2023 18:37:57

★

а)
MN- средняя линия треугольника АВС

Окружность вписана в прямоугольную трапецию CMNB

r=(1/2)MC
MC=2r
AC=4r

СK=r


По свойству касательных из точки N
NP=NL=x

MN=r+x

[b]BC=2r+2x[/b]

KB=r+2x
По свойству касательных из точки В
BK=BP=r+2x

NB=NP+PB=x+r+2x=r+3x

AB=2NB=2r+6x

AB+AC=2r+6x+4r=6r+6x=3*([b]2r+2x[/b])=3*[b]BC[/b]


б)

r=ML=[b]2[/b]