Задача 70126 ...
Условие
Решение
[m]u=arctg3x[/m] ⇒
[m]du=(arctg3x)`dx=\frac{1}{1+(3x)^2}\cdot (3x)`dx=\frac{3}{1+9x^2}dx[/m]
[m]dv=dx[/m] ⇒
[m]v= ∫dv= ∫ dx=x[/m]
[m] ∫ \underbrace{arctg3x}_{u} \underbrace{dx}_{dv}=\underbrace{ arctg3x}_{u}\cdot \underbrace{x}_{v}- ∫ \underbrace{x}_{v}\cdot \underbrace{\frac{3}{1+9x^2}dx}_{du}=x\cdot arctg3x - ∫ \frac{3x}{1+9x^2}dx=[/m]
так как
[m]d(1+9x^2)=(1+9x^2)`dx=18xdx[/m] ⇒
[m]3xdx=\frac{1}{6}d(1+9x^2)[/m]
и последний интеграл табличный : [r] [m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m][/r]
Итак
[m]∫ \underbrace{arctg3x}_{u} \underbrace{dx}_{dv}=x\cdot arctg3x - \frac{1}{6}∫ \frac{(1+9x^2)}{1+9x^2}dx=x\cdot arctg3x - \frac{1}{6}ln(1+9x^2) + C[/m]