Задача 70112 ...

640ef0990b928015cdf7eb3e

15.03.2023 12:59:43

Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности а, воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции ∛80, a = 0,001

5f3ea7e3faf909182968ddd9

15.03.2023 14:13:11

★

[m]\sqrt[3]{80}=\sqrt[3]{64+16}=\sqrt[3]{64(1+\frac{16}{64})}=4\sqrt[3]{1+\frac{1}{4}}[/m]

Применяем разложение [m]\sqrt[3]{1+\frac{1}{4}}=(x+\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}[/m]
в степенной ряд ( cм скрин)

[m]x=\frac{1}{4}[/m]

[m]α =\frac{1}{3}[/m]



[m](x+\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}=1+\frac{\frac{1}{3}}{1!}\cdot \frac{1}{4}+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)}{2!}\cdot (\frac{1}{4})^2+\frac{\frac{1}{3}\cdot (\frac{1}{3}-1)(\frac{1}{3}-2)}{3!}\cdot (\frac{1}{4})^3+...[/m]

[m](x+\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}}=1+0,08333-0,0069444+0,0009[/m]


Для того, чтобы вычислить с заданной точностью, надо определиться сколько слагаемых достаточно взять...

Поскольку получается знакочередующийся ряд, то погрешность не превышается модуля первого отброшенного слагаемого

Как видим четвертое слагаемое удовлетворяет условию
0,0009 < 0,001

Значит , достаточно трех слагаемых

[m](x+\frac{1}{4})^{\frac{1}{3}} ≈ 1+0,08333-0,0069444=1,0763856[/m]

округляем до тысячных и получаем

1, 076

О т в е т. [m]\sqrt[3]{80} ≈4\cdot 1, 076=4,304[/m]