Задача 70103 ...
Условие
Решение
[m]u=arctg2x[/m] ⇒
[m]du=(arctg2x)`dx=\frac{1}{1+(2x)^2}\cdot (2x)`dx=\frac{2}{1+4x^2}dx[/m]
[m]dv=xdx[/m] ⇒
[m]v= ∫dv= ∫ xdx=\frac{x^2}{2}[/m]
[m] ∫ \underbrace{(arctg2x)}_{u} \underbrace{xdx}_{dv}=\underbrace{ arctg2x}_{u}\cdot \underbrace{\frac{x^2}{2}}_{v}- ∫ \underbrace{\frac{x^2}{2}}_{v}\cdot \underbrace{\frac{2}{1+4x^2}dx}_{du}=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x - ∫ \frac{x^2}{1+4x^2}dx=[/m]
Последний интеграл - неправильная дробь ( степень числителя равна степени знаменателя, поэтому выделяем целую часть)
[m]=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x -\frac{1}{4} ∫ \frac{4x^2}{1+4x^2}dx=[/m]
[m]=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x -\frac{1}{4} ∫ \frac{4x^2+1-1}{1+4x^2}dx=[/m]
почленно делим:
[m]=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x -\frac{1}{4} ∫ \frac{4x^2+1}{1+4x^2}dx+\frac{1}{4}∫ \frac{1}{1+4x^2}dx=[/m]
[m]=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x -\frac{1}{4} ∫ dx+\frac{1}{8}∫ \frac{2}{1+(2x)^2}dx=[/m]
[m]=\frac{x^2}{2}\cdot arctg2x -\frac{1}{4}x +\frac{1}{8}arctg{2x}+C[/m]