Задача 69991 Теория вероятностей. Хотя бы Вариант №1...
Условие
Решение
В одном испытании событие происходит с вероятностью р, противоположное ему событие с вероятностью q
[red][b]p+q=1[/b][/red]
[b]4.1[/b]
Повторные испытания с двумя исходами ( " герб"- "цифра" или "попадание" - "промах" или...)
p=0,2- вероятность отказа в [i]одного[/i] элемента
q=1-p=0,8- вероятность исправной работы [i]одного[/i] элемента
По формуле Бернулли
P_(n)(k)=C^(k)_(n)*p^(k)*q^(n-k) - вероятность появления события ровно k раз из n
В задаче требуется найти вероятность отказа , если достаточно отказа хотя бы трех элементов Это уже логика.
Не менее трех, значит 3 или 4 или 5 или 6 или 7 или 8
По теореме сложения
p=P_(8)(3)+P_(8)(4)+P_(8)(5)+P_(8)(6)+P_(8)(7)+P_(8)(8)
Вероятность того, что произойдет отказ 3 элементов из восьми
P_(8)(3)=C^(3)_(8)*p^3*q^5=(8!/(3!*(8-3)!))*0,2^3*0,8^5=...
Вероятность того, что произойдет отказ 4 элементов из восьми
P_(8)(4)=C^(4)_(8)*p^4*q^4=(8!/(4!*(8-4)!))*0,2^4*0,8^4=...
Вероятность того, что произойдет отказ 5 элементов из восьми
P_(8)(5)=C^(5)_(8)*p^5*q^3=(8!/(5!*(8-5)!))*0,2^5*0,8^3=...
Вероятность того, что произойдет отказ 6 элементов из восьми
P_(8)(6)=C^(6)_(8)*p^6*q^2=(8!/(6!*(8-6)!))*0,2^6*0,8^2=...
Вероятность того, что произойдет отказ 7 элементов из восьми
P_(8)(7)=C^(7)_(8)*p^7*q=(8!/(7!*(8-7)!))*0,2^7*0,8^1=...
Вероятность того, что произойдет отказ 8 элементов из восьми
P_(8)(8)=C^(8)_(8)*p^8*q^0=(8!/(8!*(8-8)!))*0,2^8*0,8^0=...
Так как
P_(8)(0)+P_(8)(1)+P_(8)(2)+P_(8)(3)+P_(8)(4)+P_(8)(5)+P_(8)(6)+P_(8)(7)+P_(8)(8) = 1
то
P_(8)(3)+P_(8)(4)+P_(8)(5)+P_(8)(6)+P_(8)(7)+P_(8)(8) = 1 -P_(8)(0)-P_(8)(1)-P_(8)(2)
В этом случае достаточно найти
Вероятность того, что произойдет отказ 0 элементов из восьми
P_(8)(0)=C^(6)_(0)*p^0*q^0=(8!/(0!*(8-8)!))*0,2^0*0,8^8=...
Вероятность того, что произойдет отказ 1 элементов из восьми
P_(8)(1)=C^(1)_(8)*p^1*q^7=(8!/(1!*(8-1)!))*0,2^1*0,8^7=...
Вероятность того, что произойдет отказ 2 элементов из восьми
P_(8)(2)=C^(2)_(8)*p^2*q^6=(8!/(2!*(8-2)!))*0,2^2*0,8^6=...
Этот ответ можно вычислить гораздо быстрее
p= 1-P_(8)(0)-P_(8)(1)-P_(8)(2)
[b]4.3[/b]
Сопернники равносильные, значит вероятность выигрыша одного равна вероятности проигрыша другого
p=1/2
q=1/2
P_(2)(1)=C^(1)_(2)p^1*q^1=2*(1/2)*(1/2)=2/4=1/2
P_(4)(2)=C^(2)_(4)p^2*q^2=(4!/2!*2!)=6*(1/2)^2*(1/2)^2=6/16=3/8
1/2=(4/8) > (3/8)
Вероятность выиграть одну партию из двух выше чем вероятность выиграть две партии из четырех
[b]4.4[/b]
p=1/2 - вероятность выпадения герба
q=1/2- вероятность выпадения цифры
P_(5)(2)=C^(2)_(5)p^2*q^3=(5!/(2!*3!)*(1/2)^2*(1/2)^3=10*(1/4)*(1/8)=10/32
P_(5)(3)=C^(3)_(5)p^3*q^2=(5!/(2!*3!)*(1/2)^3*(1/2)^3=10*(1/8)*(1/4)=10/32
P_(5)(4)=C^(4)_(5)p^4*q^1=(5!/(1!*4!)*(1/2)^4*(1/2)^1=5*(1/16)*(1/2)=5/32
P_(5)(5)=C^(5)_(5)p^5*q^0=(5!/(0!*(5-0)!)*(1/2)^5*(1/2)^0=1*(1/32)*1=1/32
p=P_(5)(2)+P_(5)(3)+P_(5)(4)+P_(5)(5)=(10/32)+(10/32)+(5/32)+(1/32)=[red]26/32[/red]
или как и в задаче 4,1
P_(5)(0)=C^(0)_(5)p^0*q^5=(5!/(0!*5!)*(1/2)^0*(1/2)^5=1*1*(1/32)=1/32
P_(5)(1)=C^(1)_(5)p^1*q^4=(5!/(1!*4!)*(1/2)^1*(1/2)^4=5*(1/2)*(1/16)=5/32
p=1-P_(5)(0)-P_(5)(1)=1-(1/32)-(5/32)=[red]26/32[/red]