Задача 69978 В треугольник АВС вписана окружность...

63f672fcfbc2234c5d23a846

11.03.2023 19:42:04

В треугольник АВС вписана окружность радиуса 3, которая касается сторон треугольника АВС в точках К, L, M, а около треугольника АВС описана окружность радиуса 8. Найдите отношение площади треугольника KLM к площади треугольника АВС. Заранее спасибо!

5f3ea7e3faf909182968ddd9

12.03.2023 11:40:38

★

∠ A= α
∠ B=β
∠ C= γ

В четырехугольнике NPMC
∠ PMC=90 °
∠ PNC=90 °
∠MPN=180 ° - γ

Аналогично

∠KPN=180 ° - α
∠KPM=180 ° - β

S_( Δ MNК)=S_( Δ KPM)+S_( Δ MPN)+S_( Δ KPN)=(1/2)*r^2*(sin (180 ° - α) +sin (180 ° - γ ) +sin(180 ° - β ) )=(1/2)*r^2(sin α +sin β +sin γ )


S_( Δ АВС)=S_( Δ AOB)+S_( Δ AOC)+S_( Δ BOC)=(1/2)*R^2*(sin ∠ AOB+sin ∠ AOC+sin ∠ BOC)=(1/2)*R^2(sin2 α +sin2 β +sin2 γ )=

=(1/2)*R^2* 2*(sin α cos α +sin β cos β +sin γ cos γ )


S_( Δ MNК)/S_( Δ АВС)=