Задача 69960 В прямоугольном треугольнике АВС с...

63f672fcfbc2234c5d23a846

10.03.2023 18:00:54

В прямоугольном треугольнике АВС с гипотенузой АВ катет ВС равен 2. В угол В вписана окружность радиуса sqrt(2) так, что она касается прямой ВС в точке С. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник АВС. Заранее спасибо!

5f3ea7e3faf909182968ddd9

10.03.2023 18:48:53

★

ОК ⊥ АВ
ОС ⊥ СВ
⇒
∠ СВК =∠ АОК


[b]ВС=BK=2[/b] ( свойство касательной к окружности, проведенной из одной точки)

OB - биссектриса ∠ B

CМ - биссектриса угла С, ∠ С=90 °

M - точка пересечения биссектрис треугольника АВС

М- центр вписанной окружности

MN ⊥ BC

MN=r

Из подобия треугольников ВОС и BMN

r/sqrt(2)=(2-r)/2

[b]r=2sqrt(2)/(2+sqrt(2)) [/b]