Задача 69883 Найдите все значения а, при каждом из...
Условие
Решение
{ x^2 + y = xy + x
В 1 уравнении выделяем полные квадраты.
Во 2 уравнении переносим всё налево.
{ (ax^2 - 2ax + a - a) + 5x + (ay^2 + 2ay + a - a) + 1 = 0
{ x^2 + y - xy - x = 0
В 1 уравнении сворачиваем квадраты в скобки.
Во 2 уравнении выносим общие множители за скобки.
{ a(x - 1)^2 + a(y - 1)^2 + 5x - 2a + 1 = 0
{ x(x - y) - (x - y) = 0
2 уравнение раскладываем на множители.
{ a(x - 1)^2 + a(y - 1)^2 + 5x - 2a + 1 = 0
{ (x - y)(x - 1) = 0
Если произведение равно 0, то один из множителей равен 0.
Из 2 уравнения получаем 2 случая:
1) x = 1. Подставляем в 1 уравнение:
0 + a(y - 1)^2 + 5 - 2a + 1 = 0
a(y - 1)^2 = 2a - 6
(y - 1)^2 = (2a - 6)/a
При а = 0 решений нет.
При (2a - 6)/a < 0, то есть при a ∈ (0; 3) тоже решений нет.
При а = 3 будет 1 решение y = 1.
При (2a - 6)/a > 0 и a ≠ 0 и a ≠ 3 будет 2 решения.
y1 = 1 - sqrt((2a - 6)/a)
y2 = 1 + sqrt((2a - 6)/a)
[b]a ∈ (-oo; 0) U (3; +oo)[/b]
2) y = x
a(x - 1)^2 + a(x - 1)^2 + 5x - 2a + 1 = 0
2a(x - 1)^2 + 5x - 2a + 1 = 0
2ax^2 - 4ax + 2a + 5x - 2a + 1 = 0
2ax^2 + (5 - 4a)x + 1 = 0
D = (5 - 4a)^2 - 4*2a*1 = 16a^2 - 40a + 25 - 8a = 16a^2 - 48a + 25
При D > 0 это квадратное уравнение имеет 2 корня.
16a^2 - 48a + 25 > 0
D1/4 = 24^2 - 16*25 = 576 - 400 = 176 = (4*sqrt(11))^2
a1 = (24 - 4*sqrt(11))/16 = (6 - sqrt(11))/4 ≈ 0,67 > 0
a2 = (24 + 4*sqrt(11))/16 = (6 + sqrt(11))/4 ≈ 2,33 < 3
[b]a ∈ (-oo; (6 - sqrt(11))/4 ) U ((6 + sqrt(11))/4; +oo)[/b]
3) 4 корня будет у системы на пересечении промежутков,
когда выполняются оба условия.
Графически это показано на рисунках.
На левом a = -1 < 0, на правом a = 3,5 > 3.
В обоих случаях прямые x = 1 и y = x пересекаются
с окружностью в 4 точках.
Заметьте, что масштаб на рисунках одинаковый.
Это окружности разного размера.
Ответ: a ∈ (-oo; 0) U (3; +oo)