Задача 69879 Найти интеграл (7xdx)/(x^2+5x+1)...
Условие
Решение
[m]x^2+5x+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{2}[/m]
[red]Замена переменной[/red]
[m]x+\frac{5}{2}=t[/m]
[m]x=t-\frac{5}{2}[/m]
[m]dx=dt[/m]
[m] ∫ \frac{7xdx}{x^2+5x+1}= ∫ \frac{7\cdot (t-\frac{5}{2})dt}{t^2-\frac{21}{2}}=7 ∫ \frac{tdt}{t^2-\frac{21}{2}}-7\cdot \frac{5}{2} ∫ \frac{dt}{t^2-\frac{21}{2}}[/m]
[m]=\frac{7}{2} ∫ \frac{2tdt}{t^2-\frac{5}{2}}-\frac{35}{2}∫ \frac{dt}{t^2-\frac{21}{2}}=[/m]
первый интеграл табличный вида [r] [m] ∫ \frac{du}{u}=ln|u|[/m][/r]
второй интеграл табличный [r] [m] ∫ \frac{du}{u^2-a^2}=\frac{1}{2a}ln|\frac{u-a}{u+a}|[/m][/r]
[m]=\frac{7}{2} ln|t^2-\frac{5}{2}|-\frac{35}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{21}{2}}}ln|\frac{t-\sqrt{\frac{21}{2}}}{t+\sqrt{\frac{21}{2}}}|+C[/m]
обратный переход к переменной х:
[m]=\frac{7}{2} ln|x^2+5x+1|-\frac{35}{2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{\frac{21}{2}}}ln|\frac{x+\frac{5}{2}-\sqrt{\frac{21}{2}}}{x+\frac{5}{2}+\sqrt{\frac{21}{2}}}|+C[/m]
Все решения
[m]\int \frac{7xdx}{x^2+5x+1}=\frac{7}{2} \int \frac{2x + 5 - 5}{x^2+5x+1}dx =\frac{7}{2} (\int \frac{2x + 5}{x^2+5x+1}dx - \int \frac{5}{x^2+5x+1}dx ) = \frac{7}{2} (I_1 - I_2)[/m]
Дальше лучше решать эти интегралы по отдельности.
1) [m]I_1 = \int \frac{2x + 5}{x^2+5x+1}dx[/m]
Замена x^2 + 5x + 1 = t; dt = (2x + 5) dx
[m]I_1 = \int \frac{dt}{t} = ln |t| = ln |x^2 + 5x + 1|[/m]
2) [m]I_2 = \int \frac{5}{x^2+5x+1}dx[/m]
Решаем методом неопределенных коэффициентов.
x^2 + 5x + 1 = 0
D = 5^2 - 4*1*1 = 25 - 4 = 21
x1 = (-5 - sqrt(21))/2; x2 = (-5 + sqrt(21))/2
[m]I_2 = 5 \cdot \int \frac{dx}{x^2+5x+1} = 5 \cdot \int \frac{dx}{(x + (5 - \sqrt{21})/2)(x + (5 + \sqrt{21})/2)}[/m]
[m]I_2 = \frac{5}{(5 + \sqrt{21})/2 - (5 - \sqrt{21})/2} \cdot ln |\frac{x + (5 + \sqrt{21})/2)}{x + (5 - \sqrt{21})/2)}|[/m]
[m]I_2 = \frac{5}{ \sqrt{21}} \cdot ln |\frac{x + (5 + \sqrt{21})/2)}{x + (5 - \sqrt{21})/2)}| = \frac{5 \sqrt{21}}{ 21} \cdot ln |\frac{x + (5 + \sqrt{21})/2)}{x + (5 - \sqrt{21})/2)}| [/m]
3) Итого получаем:
[m]\int \frac{7xdx}{x^2+5x+1}=\frac{7}{2} \cdot (ln |x^2 + 5x + 1| - \frac{5 \sqrt{21}}{ 21} \cdot ln |\frac{x + (5 + \sqrt{21})/2)}{x + (5 - \sqrt{21})/2)}| + ln \ C)[/m]