Задача 69868 Продифференцировать данные функции ...
Условие
Решение
[m]lny=ln(ctg(7x+4))^{\sqrt{x+3}}[/m] ⇒ по свойству логарифма степени: [m]lny=\sqrt{x+3}\cdot ln ctg(7x+4)[/m]
Дифференцируем:
[m](lny)`=(\sqrt{x+3}\cdot ln ctg(7x+4))`[/m]
По правилу дифференцирования сложной функции [m]y=y(x)[/m]
[m]\frac{y`}{y}=(\sqrt{x+3})`\cdot ln ctg(7x+4)+\sqrt{x+3}\cdot (ln ctg(7x+4))`[/m]
⇒
[m]y`=y\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\cdot ln ctg(7x+4)+\sqrt{x+3}\cdot\frac{1}{ctg(7x+4)}\cdot (ctg (7x+4))`)[/m]
[m]y`=y\cdot (\frac{1}{2\sqrt{x+3}}\cdot ln ctg(7x+4)+\sqrt{x+3}\cdot\frac{1}{ctg(7x+4)}\cdot \frac{1}{sin^2 (7x+4)}\cdot (7x+4)`)[/m]
[m]y`=(ctg(7x+4))^{\sqrt{x+3}}\cdot (\frac{ ln ctg(7x+4)}{2\sqrt{x+3}}+\frac{7\sqrt{x+3}}{(ctg(7x+4))\cdot (sin^2(7x+4))})[/m]
Можно упростить в скобках выражение...
[m]y`=(ctg(7x+4))^{\sqrt{x+3}}\cdot \frac{(ln ctg(7x+4))\cdot (ctg(7x+4))\cdot (sin^2(7x+4))+14(x+3)}{2\sqrt{x+3}\cdot (ctg(7x+4))\cdot (sin^2(7x+4))}[/m]
2.
Логарифмируем:
[m]lny=ln\frac{\sqrt[5]{x+1}\cdot (x-3)^{7}}{(x+8)^3}[/m]
⇒
по свойству логарифмов:
[m]lny=ln(x+1)^{\frac{1}{5}}+ln (x-3)^{7}-ln(x+8)^3[/m]
Применяем свойство логарифма степени:
[m]lny=\frac{1}{5}ln(x+1)+7ln (x-3)-3ln(x+8)[/m]
Дифференцируем:
[m](lny)`=(\frac{1}{5}ln(x+1)+7ln (x-3)-3ln(x+8))`[/m]
По правилу дифференцирования сложной функции [m]y=y(x)[/m]
[m]\frac{y`}{y}=\frac{1}{5(x+1)}+\frac{7}{x-3}-\frac{3}{x+8}[/m] ⇒
[m]y`=y\cdot (\frac{1}{5(x+1)}+\frac{7}{x-3}-\frac{3}{x+8})[/m] ⇒
[m]y`=\frac{\sqrt[5]{x+1}\cdot (x-3)^{7}}{(x+8)^3}\cdot (\frac{(x-3)(x+8)+35(x+1)(x+8)-15(x+1)(x-3)}{5(x+1)(x-3)(x+8)}[/m]
[m]y`=\frac{\sqrt[5]{x+1}\cdot (x-3)^{7}}{(x+8)^3}\cdot \frac{x^2+5x-24+35x^2+315x+280-15x^2+30x+45}{5(x+1)(x-3)(x+8)}[/m]
[m]y`=\frac{ (x-3)^{6}\cdot (21x^2+350x+301)}{5\sqrt[5]{(x+1)^4}\cdot (x+8)^4}[/m]