Задача 69861 Найдите все значения а, при каждом из...

63f672fcfbc2234c5d23a846

06.03.2023 20:08:16

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений имеет ровно два различных решения. Хотелось бы увидеть решение графическим (геометрическим) методом с изображением графиков уравнений на плоскости xOy. Спасибо заранее!

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.03.2023 20:44:55

★

[m]\left\{\begin {matrix}log_{11}(16-y^2)=log_{11}(16-a^2x^2)\\x^2+y^2=2x+4y\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}(16-y^2)=(16-a^2x^2)\\16-y^2 >0\\16-a^2x^2>0 \\x^2-2x+1+y^2-4x+4=5\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}y^2=a^2x^2\\|y|<4\\|ax|<4 \\(x-1)^2+(y-2)^2=5\end {matrix}\right.[/m]


[m]\left\{\begin {matrix}|y|=|ax|\\-4<y<4\\-4<ax<4 \\(x-1)^2+(y-2)^2=5\end {matrix}\right.[/m]

[m]\left\{\begin {matrix}-4<y<4\\(x-1)^2+(y-2)^2=5\end {matrix}\right.[/m] - область на рис. 1

Это часть окружности внутри полосы


[m]|y|=|ax|[/m] ⇒ [m]y= ± ax[/m] - прямые, проходящие через начало координат

Уравнение OA:

[m]x=0[/m]


Уравнение OВ:

[m]y=2x[/m] ⇒ при a ≥ 2
прямые y=ax имеют только одну точку пересечения с окружностью в синей области ( см. сиреневые прямые)

Значит решение системы a ∈ [0;2) ( это зеленые прямые)
и
a ∈ (- ∞ ;0) ( это зеленые прямые)

На рисунке можно найти:
⇒ a ∈(- ∞ ;0) U [0;2)= (- ∞ ;2) но не использовано условие: -4<ax<4