Задача 69847 Прямая ! задана в пространстве общими...
Условие
Прямая ! задана в пространстве общими уравнениями. Написать её каноническое и параметрическое уравнения. Составить уравнение прямой / проходящей через точку М параллельно прямой / и вычислить расстояние между ними. Найти проекцию точки М на прямую ! и точку пересечения ‚„ ПРямой Ги плоскости P Bap. прямой 1 точки М плоскости Р 
Решение
Прямая [m]l[/m] задана как линия пересечения плоскостей:
{2x-2y-2z-4=0
{x+y+z+7=0
2x-2y-2z-4=0– общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n_(1)}=(2;-2;-2)
x+y+z+7=0 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n_(2)}=(1;1;1)
Направляющий вектор прямой [m]l[/m]
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}
Находим векторное произведение векторов. заданных координатами:
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\2&-2&-2\\1&1&1\end {vmatrix}=-2\vec{i}-2\vec{j}+2\vec{k}+2\vec{k}+2\vec{i}-2\vec{j}=0\vec{i}-4\vec{j}+4\vec{k}[/m]
vector{q}=(0;-4;4) - направляющий вектор прямой [m]l[/m]
Осталось найти точку, принадлежащую прямой [m]l[/m]
Так как прямая [m]l[/m] - линия пересечения плоскостей:
{2x-2y-2z-4=0
{x+y+z+7=0
точек на ней - много.
Пусть третья координата точки[b] z=0[/b]
тогда из системы
{2x-2y-4=0
{x+y+7=0
находим две другие координаты
{2x-2y-4=0
{2x+2y+14=0
4x+10=0
x=-2,5
y=-7-x=-7-(-2,5)=-4,5
Каноническое уравнение прямой[m]l[/m] с направляющим вектором vector{q}=(0;-4;4) и проходящей через точку (-2,5;-4,5;0)
[m]\frac{x-(-2,5)}{0}=\frac{y-(-4,5)}{-4}=\frac{z-0}{4}[/m]
[m]\frac{x+2,5}{0}=\frac{y+4,5}{-4}=\frac{z}{4}[/m]
Запишем это уравнение как параметрическое
[m]\frac{x+2,5}{0}=\frac{y+4,5}{-4}=\frac{z}{4}[/m]=[red]t[/red]
[m]x=-2,5[/m]
[m]\frac{y+4,5}{-4}[/m]=[red]t[/red] ⇒ [m]y=-4t-4,5[/m]
[m]\frac{z}{4}[/m]=[red]t[/red] ⇒ [m]z=4t[/m]
2)
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы
Каноническое уравнение прямой[m]l[/m] с направляющим вектором vector{q}=(0;-4;4) и проходящей через точку (0;1;-1)
[m]\frac{x-0}{0}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-0}{-1}[/m]
3)
Чтобы найти проекцию точки M на прямую [m]l[/m] :
надо составить уравнение прямой перпендикулярной прямой [m]l[/m] и проходящей через точку M
Затем найти точку пересечения этих прямых.
Эта точка и будет проекцией точки М на прямую [m]l[/m]
4)
Находим координаты точки пересечения прямой [m]l[/m] и плоскости P
Решаем систему трех уравнений:
{2x-2y-2z-4=0
{x+y+z+7=0
{6x+7y-6z-1=0
любым способом ( метод крамера, например)
[m](-2,5; -\frac{11}{13};-\frac{95}{26})[/m]- координаты точки
Второй способ
подставляем параметрическое уравнение прямой [m]l[/m] в уравнение плоскости Р:
[m]x=-2,5[/m]
[m]y=-4t-4,5[/m]
[m]z=4t[/m]
[m]6\cdot (-2,5)+7(-4t-4,5)-6\cdot (4t)- 1=0[/m] ⇒ -52t=95/2
t=-95/104
Находим координаты точки:
[m]x=-2,5[/m]
[m]y=-4\cdot (-\frac{95}{104})-4,5=-\frac{11}{13}[/m]
[m]z=4\cdot (-\frac{95}{104})=-\frac{95}{26}[/m]
тот же ответ:
[m](-2,5; -\frac{11}{13};-\frac{95}{26})[/m]
