Задача 69846 Составить уравнение плоскости Р,...

6405b2647a2e58280417a44c

06.03.2023 12:32:49

Составить уравнение плоскости Р, проходящей через точку А перпендикулярно вектору . Написать ее общее уравнение, а также нормальное уравнение плоскости и уравнение плоскости в отрезках. Составить уравнение плоскости , проходящей через точки А, В, С. Найти угол между плоскостями Р и . Найти расстояние от точки D до плоскости Р.
(0;2;-1) (-1;2;3) (-2;3;-1) (0;4;1)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

06.03.2023 18:43:28

★

vector{BC}=(-2-(-1);3-2;-1-3)=([green]-1[/green];[green]1[/green];[green]-4[/green])
плоскость Р ⊥ вектору vector{BC}
Значит,
vector{n}=vector{BC}=([green]-1[/green];[green]1[/green];[green]-4[/green])- нормальный вектор плоскости Р

Уравнение плоскости Р:
А([red]0[/red];[red]2[/red];[red]–1[/red])
([green]-1[/green])*(x-[red]0[/red])+[green]1[/green]*(y-[red]2[/red])+([green]-4[/green])*(z-([red]-1[/red]))=0

-x +y-2-4z-4=0

x-y+4z+6=0 -[i]общее уравнение плоскости[/i] Р

|vector{n}|=sqrt((-1)^2+1^2+(-4)^2)=sqrt(18)=3sqrt(2)

нормальное уравнение плоскости:


-x +y-4z-6=0 делим на |vector{n}|=3sqrt(2)

x/(-3sqrt(2)) + y/(3sqrt(2))-(4z)/(3sqrt(2))-6/(3sqrt(2))=0

x*сos α +y*cos β +z*cos γ -p=0

сos α=1/(-3sqrt(2))

cos β =1/(3sqrt(2))

cos γ =(4/(-3sqrt(2))

p=6/(3sqrt(2))



уравнение плоскости в отрезках

-x +y-4z-6=0

-x +y-4z=6

Делим на 6

(-1/6)x+(1/6)y-(4/6)z=1

(x/(-6)) + (y/6)+ (x/(-3/2))=1 -уравнение плоскости в отрезках


2.
Пусть M(x;y;z) - произвольная точка плоскости Р_(1)

Тогда векторы
vector{AM}=(x-0;y-2;z-(-1))=(x;y-2;z+1)
vector{AB}=(-1-0;2-2;3-(-1))=(-1;0;4)
vector{AC}=(-2-0;3-2;-1-(-1))=(-2;1;0)

КОМПЛАНАРНЫ

Значит, их смешанное произведение равно 0, т.е
Определитель третьего порядка, составленный из координат этих векторов равен 0


[m]\begin {vmatrix} x-0&y-2&z+1\\-1&0&4\\-2&1&0\end {vmatrix}=0[/m]

Раскрываем определитель и получаем уравнение:

[b]-4х-8у-z+15=0[/b]