Задача 69824 Дан прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1,...

640375d23e36af3a95c1d69e

05.03.2023 12:54:51

Дан прямой параллелепипед ABCDA1B1C1D1, CC1=24, AD=5, DC = 8, угол ADC = 60 градусов. Найдите меньшую диагональ параллелепипеда.

63bc6bb2d8bafc064bfc249e

05.03.2023 15:36:37

★

Для решения задачи нам понадобится нахождение высоты параллелепипеда, проходящей через грань ADD1C1.

Найдем высоту параллелепипеда, проходящую через грань ADD1C1:
Из прямоугольного треугольника ADC с углом 60° имеем:
AD/DC = 1/2
AD = 5, DC = 8
Значит, высота треугольника ADC, опущенная на сторону DC, равна:
h1 = DC * √3 / 2 = 8 * √3 / 2 = 4√3
Высота параллелепипеда, проходящая через грань ADD1C1, равна высоте треугольника ADC, т.е. h = h1 = 4√3.

Найдем меньшую диагональ параллелепипеда:
Меньшая диагональ параллелепипеда AC1 выражается через ребра a, b и высоту h следующим образом:
AC1 = √(a^2 + b^2 + h^2)
Нам необходимо найти a и b.
Заметим, что треугольник ADC и треугольник A1D1C1 равны, так как имеют соответствующие равные стороны.
Значит, AD1 = DC, A1C1 = AD, и угол A1D1C1 также равен 60°.
Также заметим, что прямоугольный треугольник A1DC с углом 60° равнобедренный, поэтому AD1 = A1C.

Теперь можем выразить a и b через AD1, DC1 и CC1:
a = AD1 = 5,
b = A1C1 = AD = 5.

Таким образом, меньшая диагональ параллелепипеда равна:
AC1 = √(a^2 + b^2 + h^2) = √(5^2 + 5^2 + (4√3)^2) ≈ 11,39.

Ответ: меньшая диагональ параллелепипеда равна примерно 11,39.

Ответ: 11,39