Задача 69815 ...
Условие
Решение
Замена переменной:
[m]log_{5}x=t[/m], [red][m] x > 0[/m][/red]
[m]log_{5}25x=log_{5}25+log_{5}x=2+log_{5}x=2+t[/m]
Неравенство принимает вид:
[m]\frac{1}{2+t}+\frac{2t^2-8t+5}{t-4 } ≤ 2t[/m]
[m]\frac{1}{2+t}≤ 2t-\frac{2t^2-8t+5}{t-4 } [/m]
[m]\frac{1}{2+t}≤ \frac{2t^2-8t-2t^2+8t-5}{t-4 } [/m]
[m]\frac{1}{2+t}≤ \frac{(-5)}{t-4 } [/m]
[m]\frac{1}{2+t}+ \frac{5}{t-4 } ≤ 0[/m]
[m]\frac{t-4+10+5t}{(2+t)(t-4)}≤ 0[/m]
[m]\frac{6(t+1)}{(2+t)(t-4)}≤ 0[/m]
Решаем методом интервалов:
__-__ (-2) ___+__ [-1] ______-_________ (4) ___+___
[m] t < -2 [/m] или [m]-1 ≤ t ≤ 4[/m]
[m] log_{5}x < -2 [/m] или [m]-1 ≤ log_{5}x < 4[/m]
[m]1=log_{5}5[/m]
[m] log_{5}x < -2\cdot log_{5}5 [/m] или [m]-1\cdot log_{5}5 ≤ log_{5}x < 4\cdot log_{5}5 [/m]
[m] log_{5}x < log_{5}5^{-2} [/m] или [m]log_{5}5^{-1} ≤ log_{5}x < log_{5}5^{4} [/m]
Так как [red][m] x > 0[/m][/red]
и на основании свойства монотонности:
[m] 0 <x < 5^{-2} [/m] или [m]5^{-1} ≤ x < 5^{4} [/m]
О т в е т. [m](0;\frac{1}{25})\cup [\frac{1}{5};625) [/m]
Все решения
Область определения:
{ x > 0
{ 2 + log_5(x) ≠ 0
{ log_5(x) - 4 ≠ 0
Решаем:
{ x > 0
{ log_5(x) ≠ -2; x ≠ 5^(-2)
{ log_5(x) ≠ 4; x ≠ 5^4
x ∈ (0; 1/25) U (1/25; 625) U (625; +oo)
Делаем замену: log_5(x) = y
Получаем неравенство:
[m]\frac{1}{2+y} + \frac{2y^2 - 8y + 5}{y - 4} ≤ 2y[/m]
[m]\frac{1}{2+y} + \frac{2y^2 - 8y + 5}{y - 4} - 2y ≤ 0[/m]
Приводим к общему знаменателю (y + 2)(y - 4):
[m]\frac{y-4}{(y+2)(y - 4)} + \frac{(2y^2 - 8y + 5)(y+2)}{y - 4} - \frac{2y(y+2)(y-4)}{(y+2)(y-4)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{y-4+ 2y^3-8y^2+5y+4y^2-16y+10-2y^3+4y^2+16y}{(y+2)(y - 4)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{6y+6}{(y+2)(y - 4)} ≤ 0[/m]
[m]\frac{6(y+1)}{(y+2)(y - 4)} ≤ 0[/m]
По методу интервалов:
y ∈ (-oo; -2) U [-1; 4)
x ∈ (0; 5^(-2)) U [5^(-1); 5^4)
x ∈ (0; 1/25) U [1/5; 625)