Задача 69791 Решите уравнение 4^log2(-cosx) +2^(-1,5)...
Условие
Укажите корни ур-ия на отрезке [-2П; -П/2] 
Решение
Все решения
{ -cos x > 0
{ 2sin^2 x > 0
Получаем:
{ cos x < 0
{ sin x ≠ 0
x ∈ (π/2+2π*k; π+2π*k) U (π+2π*k; 3π/2+2π*k), k ∈ Z
Сначала упростим уравнение.
[m]4^{log_2(-cos\ x)} = (2^2)^{log_2(-cos\ x)} = 2^{2 \cdot log_2(-cos\ x)} = 2^{log_2(-cos\ x)^2} = (-cos\ x)^2 = cos^2\ x[/m]
[m]2^{-1,5} = \frac{1}{2^{1,5}} = \frac{1}{2^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{2^3}} = \frac{1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{16}} = \frac{\sqrt{2}}{4}[/m]
[m]3^{log_9(2sin^2\ x)} = (\sqrt{9})^{log_9(2sin^2\ x)} = 9^{1/2 \cdot log_9(2sin^2\ x)} = 9^{log_9(\sqrt{2sin^2\ x})} = \sqrt{2sin^2\ x} = sin\ x\sqrt{2}[/m]
Получаем уравнение:
cos^2 x + sqrt(2)/4*sin x*sqrt(2) = 1
1 - sin^2 x + 1/2*sin x = 1
- sin^2 x + 1/2*sin x = 0
-sin x*(sin x - 1/2) = 0
Так как sin x ≠ 0, то решение единственное:
{ sin x = 1/2
{ cos x < 0
Ответ: x = 5π/6 + 2π*n, n ∈ Z
[m]\left\{\begin {matrix}-cosx>0\\2sin^2x>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}cosx<0\\sinx ≠ 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]x ∈ (\frac{π}{2}+2πm; π+2πm)\cup(π+2πm;\frac{3π}{2}+2πm), m ∈[/m] [b]Z[/b]
Применяем свойства степени:
[m](2^{2})^{log_{2}(-cosx)}+2^{-\frac{3}{2}}3^{log_{3^2}(2sin^2x)}=1[/m]
[m]2^{2\cdot log_{2}(-cosx)}+2^{-\frac{3}{2}}3^{\frac{1}{2}log_{3}(2sin^2x)}=1[/m]
[m]2^{ log_{2}(-cosx)^2}+2^{-\frac{3}{2}}3^{log_{3}(2sin^2x)^{\frac{1}{2}}}=1[/m]
Применяем основное логарифмическое тождество:
[m](-cosx)^2+2^{-\frac{3}{2}}\cdot (2sin^2x)^{\frac{1}{2}}=1[/m]
так как
[m]\sqrt{t^2}=|t|[/m]
[m]cos^2+2^{-\frac{3}{2}}\cdot 2^{\frac{1}{2}}|sinx|=1[/m]
[m]2^{-1}|sinx|=1-cos^2x[/m]
[m]\frac{1}{2}|sinx|=sin^2x[/m], так как |x|^2=x^2
[m]\frac{1}{2}|sinx|=|sinx|^2[/m] ⇒ [m]\frac{1}{2}|sinx|-|sinx|^2=0[/m]
[m]|sinx|\cdot (\frac{1}{2}-|sinx|)=0[/m] ⇒
[m]|sinx|=0[/m] или [m]|sinx|=\frac{1}{2}[/m] ⇒
[m]sinx=0[/m] или [m] sinx= ± \frac{1}{2}[/m]
[m]x=πk, k ∈ [/m][b]Z[/b] или [m] x= ± \frac{π}{6}+πn, n ∈Z [/m]
C учетом ОДЗ
[m]x=\frac{5π}{6}+ 2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b]; [m]x=\frac{7π}{6}+ 2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b]
О т в е т. [m]\frac{5π}{6}+ 2πn ;\frac{7π}{6}+ 2πn, n ∈[/m] [b]Z[/b]
б)
Отбор корней с помощью неравенства:
1)
[m]-2π ≤ \frac{5π}{6}+ 2πn ≤ -\frac{π}{2}[/m] ⇒ делим на π
[m]-2 ≤ \frac{5}{6}+ 2n ≤ -\frac{1}{2}[/m] ⇒ умножаем на 6
[m]-12 ≤ 5+12n ≤-3[/m] ⇒ вычитаем 5
[m]-17 ≤12n ≤-8[/m]
n=-1 - единственное целое число, удовлетворяющее неравенству
[m]\frac{5π}{6}+ 2π\cdot(-1)=\frac{-7π}{6}[/m] ∈ [m][-2π ;-\frac{π}{2}][/m]
2)
[m]-2π ≤ \frac{7π}{6}+ 2πn ≤ -\frac{π}{2}[/m] ⇒ делим на π
[m]-2 ≤ \frac{7}{6}+ 2n ≤ -\frac{1}{2}[/m] ⇒ умножаем на 6
[m]-12 ≤ 7+12n ≤-3[/m] ⇒ вычитаем 7
[m]-19 ≤12n ≤-10[/m]
n=-1 - единственное целое число, удовлетворяющее неравенству
[m]\frac{7π}{6}+ 2π\cdot (-1)=\frac{-5π}{6}[/m] ∈ [m][-2π ;-\frac{π}{2}][/m]
