Задача 69789 К графику функции у...

64021ab950e0fc2f84fb16c9

03.03.2023 19:05:59

К графику функции у =х^3/3
составить

уравнение касательной, чтобы она была параллельна прямой у= 4X - 2.
Уравнения касательных:

5f3eaa23faf909182968dde0

03.03.2023 20:46:57

★

Уравнение касательной:
у=f(x_(0))+f'(x_(0))(x-x_(0)).
Здесь неизвестна точка касания х_(0). Найдем ее.
Так как касательная параллельна прямой у=4х-2, то ее угловой коэффициент равен 4:
k=f'(x_(0))=4.
Находим производную функции:
f(x)=x^(3)/3,
f'(x)=(3x^(2))/3=x^(2).
Получаем уравнение:
x^(2)=4,
x_(1)=-2, x_(2)=2.
Значит, к графику функции можно провести две касательных, параллельных прямой у=4х-2.

1) Если х_(0)=-2, то получаем:
f(x_(0))=f(-2)=(-2)^(3)/3=-8/3.
Составляем уравнение:
y=-8/3+4(x-(-2)),
y=-8/3+4(x+2),
y=-8/3+4x+8,
3y=-8+12x+24,
12x-3y+16=0 - уравнение касательной в точке х_(0)=-2.

2) Если х_(0)=2, то получаем:
f(x_(0))=f(2)=2^(3)/3=8/3.
Составляем уравнение:
y=8/3+4(x-2),
y=8/3+4x-8,
3y=8+12x-24,
12x-3y-16=0 - уравнение касательной в точке х_(0)=2.

Ответ: 12х-3у+16=0, 12х-3у-16=0.