Задача 69721 Определить тип дифференциального...

63e3926472986874e69e864e

01.03.2023 21:35:38

Определить тип дифференциального уравнения I порядка и найти общее решение этого уравнения (1+x^2 )dy-2x(y+3)dx=0

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.03.2023 23:06:35

★

y`=dy/dx

(1+x^2)y`-2xy-6x=0

y`-(2x/(1+x^2))y=6x/(1+x^2)

Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка вида

y`+p(x)y=q(x)

Находим решение в виде произведения:

y=u*v

Тогда
y`=u`*v+u*v`

u`*v+u*v`-(2x/(1+x^2))*u*v=6x/(1+x^2)

Группируем

u`*v+u*(v`-(2x/(1+x^2))*v)=6x/(1+x^2)

Условия на функцию v ( пусть выражение в скобках равно 0)

v`-(2x/(1+x^2))*v=0

dv/v=2x/(1+x^2)

∫ dv/v= ∫ 2x/(1+x^2)

lnv=ln(1+x^2)


v=1+x^2
тогда
u`*v=6x/(1+x^2)

u`*(`1+x^2)=6x/(1+x^2)

Решаем еще одно уравнение с разделяющимися переменными

u`=(6x)/(1+x^2)^2

u= ∫ (6x)dx/(1+x^2)^2

u=3 ∫ (1+x^2)^(-2)*(2x)dx

u=-3/(1+x^2) + C


y=u*v

[b]y=-3+C(1+x^2)[/b]

626fab9a354ab65fb2f43abb

02.03.2023 02:30:37

(1+x^2 )dy – 2x(y+3)dx = 0
(1+x^2)dy = 2x(y+3)dx
Это уравнение с разделяющимися переменными.
1/(y+3) dy = 2x/(1+x^2) dx
Решается интегрированием обеих частей.
ln |y + 3| = ln |1 + x^2| + ln C
y + 3 = C(1 + x^2)
y = C(1 + x^2) - 3