Задача 69675 ...
Условие
Исследовать на сходимость интеграл ∫ (1-cosx)/∛x^8(x+3) dx
Решение
[m] ∫ ^{+ ∞}_{0}\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}}dx=∫ ^{1}_{0}\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}}dx+∫ ^{+ ∞}_{1}\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}}dx[/m]
1)
[m]∫ ^{1}_{0}\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}}dx[/m] - несобственный интеграл второго рода.
Особая точка [b]х=0[/b]
1-cosx=2sin^2(x/2) → x^2/2 при x → 0
[m]\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}} ∼\frac{x^2}{2\sqrt[3]{x^8(x+3)}}=\frac{1}{2x^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{x+3}} [/m]
[m]∫ ^{1}_{0}\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}dx[/m]- сходитcя
0 < p=2/3 < 1
2)
[m]∫ ^{+ ∞}_{1}\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}}dx[/m]- несобственный интеграл первого рода с бесконечным пределом.
0 ≤ 1-cosx ≤ 2
[m]\frac{1-cosx}{\sqrt[3]{x^8(x+3)}} <\frac{2}{x^{\frac{9}{3}}} [/m]
[m]∫ ^{+ ∞}_{1} \frac{2}{x^{3}}dx [/m] - cходится p =3 > 1