Задача 69625 Решить дифференциальное уравнение...
Условие
[m]y'''+y'=\frac{\sin (x)}{\cos^2 (x)} (Ответ: y=\frac{1}{\cos (x)}+C_1+(\log(\left | \cos (x) \right |)+C_2)\cos (x)+(x-\tan (x)+C_3)\sin(x))[/m]
Решение
Линейное неоднородное уравнение 3 порядка.
Решаем однородное уравнение. Характеристическое:
k^3 + k = 0
k(k^2 + 1) = 0
k1 = 0; k2 = i; k3 = -i
y(одн) = C1*e^(0x) + (C2*cos x + C3*sin x)*e^(0x)
y(одн) = C1 + C2*cos x + C3*sin x
Решаем неоднородное уравнение.
Правая часть: [m]f(x) = \frac{sin x}{cos^2 x}[/m] нестандартная, поэтому применяем метод вариации произвольных постоянных.
Обозначим общее решение неоднородного уравнения:
y(н) = C1(x) + C2(x)*cos x + C3(x)*sin x
Перепишем это общее решение так:
y(н) = C1(x)*y1 + C2(x)*y2 + C3(x)*y3
y1 = 1; y2 = cos x; y3 = sin x
Решаем систему:
{ C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 + C3'(x)*y3 = 0
{ C1'(x)*y1' + C2'(x)*y2' + C3'(x)*y3' = 0
{ C1'(x)*y1'' + C2'(x)*y2'' + C3'(x)*y3'' = f(x)/a0
Здесь f(x) - это правая часть неоднородного уравнения
a0 - коэффициент при старшем члене, обычно равен 1.
{ C1'(x) + C2'(x)*cos x + C3'(x)*sin x = 0
{ C1'(x)*0 + C2'(x)*(-sin x) + C3'(x)*cos x = 0
{ C1'(x)*0 + C2'(x)*(-cos x) + C3'(x)*(-sin x) = sin x/cos^2 x
Упрощаем систему:
{ C1'(x) + C2'(x)*cos x + C3'(x)*sin x = 0
{ -C2'(x)*sin x + C3'(x)*cos x = 0
{ -C2'(x)*cos x - C3'(x)*sin x = sin x/cos^2 x
1) Складываем 1 и 3 уравнения:
C1'(x) = sin x/cos^2 x
[m]C1(x) = \int \frac{sin(x)dx}{cos^2(x)}[/m]
Этот интеграл решается заменой:
t = cos x; dt = -sin x dx
[m]C1(x) = -\int \frac{dt}{t^2} = \frac{1}{t} + C1 = \frac{1}{cos(x)} + C1[/m]
[b]C1(x) = 1/cos x + C1[/b]
2) Из 2 уравнения:
C3'(x) = C2'(x)*sin x/cos x
Подставляем в 3 уравнение:
-C2'(x)*cos x - C2'(x)*sin^2 x/cos x = sin x/cos^2 x
-C2'(x)*(cos x + sin^2 x/cos x) = sin x/cos^2 x
Умножаем всё на -cos^2 x:
C2'(x)*(cos^3 x + sin^2 x*cos x) = -sin x
C2'(x)*cos x*(cos^2 x + sin^2 x) = -sin x
C2'(x)*cos x = -sin x
C2'(x) = -sin x/cos x
[m]C2(x)= \int \frac{-sin(x)}{cos(x)}dx[/m]
Этот интеграл решается заменой:
t = cos x; dt = -sin x dx
[m]C2(x) = \int \frac{dt}{t} = ln |t|+C2 = ln |cos x|+C2[/m]
[b]C2(x) = ln |cos x| + C2[/b]
3) Опять же из 2 уравнения:
C2'(x) = C3'(x)*cos x/sin x
Подставляем в 3 уравнение:
-C3'(x)*cos^2 x/sin x - C3'(x)*sin x = sin x/cos^2 x
-C3'(x)*(cos^2 x/sin x + sin x) = sin x/cos^2 x
Умножаем всё на -sin x*cos^2 x:
C3'(x)*(cos^4 x + sin^2 x*cos^2 x) = -sin^2 x
C3'(x)*cos^2 x*(cos^2 x + sin^2 x) = -sin^2 x
C3'(x)*cos^2 x = -sin^2 x
C3'(x) = -sin^2 x/cos^2 x = -tg^2 x
[m]C3(x)= -\int tg^2(x)dx[/m]
Этот интеграл решается заменой:
1 + tg^2 x = 1/cos^2 x
[m]C3(x) = -\int (\frac{1}{cos^2(x)} -1)dx = \int 1dx - \int \frac{dx}{cos^2(x)} = x - tg(x) + C3[/m]
[b]C3(x) = x - tg(x) + C3[/b]
Итого решение неоднородного уравнения:
y(x) = C1(x) + C2(x)*cos x + C3(x)*sin x
y(x) = 1/cos x + C1 + (ln |cos x| + C2)*cos x +
+ (x - tg(x) + C3)*sin x
Всё, как в ответе!