Задача 69582 найти общее решение дифференциального...

63fa45b9391a2c7f94430c95

25.02.2023 20:31:36

найти общее решение дифференциального уравнения (1-x^2)y''=xy'

626fab9a354ab65fb2f43abb

25.02.2023 21:02:41

★

Понижаем порядок уравнения:
(1 - x^2)y' = xy
Уравнение с разделяющимися переменными.
dy/y = x dx/(1 - x^2)
Берём интегралы от левой и правой частей:
Левая часть табличная:
S dy/y = ln |y|
Правую часть можно решить заменой:
t = 1 - x^2; dt = - 2x dx; x dx = - 0,5 dt
S x dx/(1 - x^2) = - 0,5*S dt/t = - 0,5*(ln |t| + ln C) = - 0,5*ln |C(1 - x^2)|
Получаем:
ln |y| = - 0,5*ln |C(1 - x^2)|
ln |y| = ln |1/sqrt(C(1 - x^2)) |
y = 1/sqrt(C(1 - x^2))