Задача 69564 Треугольник АВС равнобедренный, AB = BC...
Условие
Решение
AB = BC = 1; угол ABC = 36°,
cos 36° = (sqrt(5) + 1)/4 ≈ 0,809
Углы BAC = BCA = (180° - 36°)/2 = 72°
cos 72° = (sqrt(5) - 1)/4 ≈ 0,309
Из теоремы косинусов:
AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos ABC
AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2*1*1*0,809
AC^2 = 2 - 2*0,809 = 2 - 1,618 = 0,382
AC = sqrt(0,382) ≈ 0,618
Из свойства биссектрис:
AM : MB = AC : BC = 0,618 : 1 = 0,618
MB = AM / 0,618 = AM*1,618
Но AM + MB = AB = 1, поэтому:
AM + AM*1,618 = 1
AM = 1/2,618 = 0,382
Так как AK - биссектриса угла BAC, то:
Угол MAK = KAC = 72°/2 = 36°
Так как CM - биссектриса угла BCA, то:
Угол ACM = MCK = 72°/2 = 36°
В треугольнике AMC угол
AMC = 180° - ACM - MAC = 180° - 36° - 72° = 72°
В треугольнике AMO угол
AOM = 180° - OAM - OMA = 180° - 36° - 72° = 72°
Таким образом, треугольник AOM ∼ ABC по 3 углам.
Коэффициент подобия равен:
AM : AB = 0,382 : 1 = 0,382
AO = AM = 0,382
MO = 0,382*AC = 0,382*0,618 = 0,236
Периметр:
P(AMO) = 2*0,382 + 0,236 = 0,764 + 0,236 = 1
[b]Ответ: P(AMO) = 1[/b]
Похоже, задача олимпиадная.
Через большую задницу получаем очень простой ответ.
Типично для олимпиадных задач.
Все решения
. Биссектрисы АК и СМ делят эти углы пополам.
Значит, Δ АКB - равнобедренный.
BK=AK
Δ CMB - равнобедренный.
[red]BM=MC[/red]
⇒
MO=OK
АО=СО
MO+AO=MO+OC=MC
P_( Δ AMO)=AM+MO+AO=AM+[red]MC[/red]=AM+[red]MB[/red]=AB=1
так как
[b]MO+AO[/b]=MO+OC=[b]MC[/b]
