Задача 69553 Прямая I задана в пространстве общими...
Условие
Прямая I задана в пространстве общими уравнениями. Написать её канонической параметрической уравнение составить уравнение прямой проходящей через точку М параллельно прямой и вычислить расстояние между ними найти проект в точке М на прямую и точку пересечения прямой и плоскости
Решение
Прямая [m]l[/m] задана как линия пересечения плоскостей:
{x-5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0
x-5y+2z+7=0– общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n_(1)}=(1;-5;2)
5x+y+5z+3=0 – общее уравнение плоскости с нормальным вектором vector{n_(2)}=(5;1;5)
Направляющий вектор прямой [m]l[/m]
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}
Находим векторное произведение векторов. заданных координатами:
vector{q}=vector{n_(1)} × vector{n_(2)}=[m]\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&-5&2\\5&1&5\end {vmatrix}=-25\vec{i}+10\vec{j}+\vec{k}+25\vec{k}-2\vec{i}-5\vec{j}=-27\vec{i}+5\vec{j}+26\vec{k}[/m]
vector{q}=(-27;5;26) - направляющий вектор прямой [m]l[/m]
Осталось найти точку, принадлежащую прямой [m]l[/m]
Так как прямая [m]l[/m] - линия пересечения плоскостей:
{x-5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0
точек на ней - много.
Пусть третья координата точки[b] z=0[/b]
тогда из системы
{x-5y+7=0
{5x+y+3=0
находим две другие координаты
{x-5(-5x-3)+7=0 ⇒ 26x=-22;[b] x=-11/13[/b]
{y=-5x-3
y=16/13
Каноническое уравнение прямой[m]l[/m] с направляющим вектором vector{q}=(-27;5;26) и проходящей через точку (-11/13;16/13;0)
[m]\frac{x-(-\frac{11}{13})}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z-0}{26}[/m]
[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z}{26}[/m]
Запишем это уравнение как параметрическое
[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}=\frac{y-\frac{16}{13}}{5}=\frac{z}{26}[/m]=[red]t[/red]
[m]\frac{x+\frac{11}{13}}{-27}[/m]=[red]t[/red] ⇒ [m]x=-27t-\frac{11}{13}[/m]
[m]\frac{y-\frac{16}{13}}{5}[/m]=[red]t[/red] ⇒ [m]y=5t+\frac{16}{13}[/m]
[m]\frac{z}{26}[/m]=[red]t[/red] ⇒ [m]z=26t[/m]
2)
Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы
Каноническое уравнение прямой [m]l_{1}[/m]с направляющим вектором vector{q}=(-27;5;26)и проходящей через точку (-1;2-3)
[m]\frac{x-(-1)}{-27}=\frac{y-2}{5}=\frac{z-(-3)}{26}[/m]
[m]\frac{x+1}{-27}=\frac{y-2}{5}=\frac{z+3}{26}[/m]
3)
Чтобы найти проекцию точки M на прямую [m]l[/m] :
надо составить уравнение прямой перпендикулярной прямой [m]l[/m] и проходящей через точку M
Затем найти точку пересечения этих прямых.
Эта точка и будет проекцией точки М на прямую [m]l[/m]
4)
Находим координаты точки пересечения прямой [m]l[/m] и плоскости P
Решаем систему трех уравнений:
{x-5y+2z+7=0
{5x+y+5z+3=0
{4x+y+3z+1=0
(2/5; 1;-6/5)- координаты точки
Или
подставляем параметрическое уравнение прямой [m]l[/m] в уравнение плоскости Р:
[m]x=-27t-\frac{11}{13}[/m]
[m]y=5t+\frac{16}{13}[/m]
[m]z=26t[/m]
[m]4\cdot (-27t-\frac{11}{13})+(5t+\frac{16}{13})+3\cdot 26t+1=0[/m] ⇒ -25t=15/13
t=-3/65
Находим координаты точки:
[m]x=-27\cdot (-\frac{3}{65})-\frac{11}{13}=\frac{2}{5}[/m]
[m]y=5\cdot (-\frac{3}{65})+\frac{16}{13}=1[/m]
[m]z=26\cdot (-\frac{3}{65})=-\frac{6}{5}[/m]
тот же ответ:
(2/5; 1;-6/5)
