Задача 69526 Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите...

63f672fcfbc2234c5d23a846

22.02.2023 22:59:57

Дан правильный тетраэдр ABCD. Найдите угол между прямой CD и плоскостью ABD. (Интересует решение именно координатно-векторным методом, если можно)

5f3ea7e3faf909182968ddd9

23.02.2023 10:56:49

★

Правильный тетраэдр ABCD можно расположить в системе координат разными способами, например так как на рис.

Все ребра тетраэдра равны 1.

Составляем уравнение плоскости АВD

ax+by+cz+d=0 ⇒ нормальный вектор vector{n} =(a;b;c)

Подставляем координаты трех точек:
A: ⇒ d=0
B:a*1+0+0+0=0 ⇒ a=0
D:(1/2)*0+(sqrt(3)/6)b+(sqrt(2)/sqrt(6))c+0=0 ⇒

b=-2c

0x+(-2c)y+cz+0=0

Делим на с

0x-2y+z=0

vector{n} =(0;-2;1)

Вектор vector{CD}=((1/2)-(1/2); (sqrt(3)/6) -(sqrt(3)/2)-; sqrt(2)/sqrt(6)-0)=(0;-sqrt(3)/3; sqrt(2)/sqrt(6)) - направляющий вектор прямой CD

Находим синус угла между нормальным вектором vector{n}=(0;-2;1) и vector{CD}=(0;-sqrt(3)/3; sqrt(2)/sqrt(6))

|vector{n}|=sqrt(0^2+(-2)^2+1^2)=sqrt(5)

|vector{CD}|=sqrt(0^2+(-sqrt(3)/3)^2+(sqrt(2)/sqrt(6))^2)=sqrt(2/3)

vector{n}* vector{CD}=(0*0+(-2)*(-sqrt(3)/3)+1*sqrt(2)/sqrt(6))=sqrt(3)
Подставляем в формулу и получаем ответ


sin φ =(0*0+(-2)*(-sqrt(3)/3)+1*sqrt(2)/sqrt(6))/(sqrt(5)*sqrt(2)/3)=[b]3/(2*sqrt(5))[/b]