Задача 69493 Решить 2,4 пример из 16 варината.Найти...
Условие
Решение
[m]S_{n}=\frac{7^{1}-2^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}-2^{2}}{14^{2}}+...+\frac{7^{n}-2^{n}}{14^{n}}=[/m]
почленно делим
[m]=\frac{7^{1}}{14^{1}}-\frac{2^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}}{14^{2}}-\frac{2^{2}}{14^{2}}+...+\frac{7^{n}-2^{n}}{14^{n}}-\frac{2^{n}}{14^{n}}=[/m]
перегруппируем:
[m](\frac{7^{1}}{14^{1}}+\frac{7^{2}}{14^{2}}+...+\frac{7^{n}}{14^{n}})-(\frac{7^{1}}{14^{1}}+\frac{2^{1}}{14^{1}}+...+\frac{2^{n}}{14^{n}})=[/m]
применяем формулу суммы n-членов геометрической прогрессии
[m]\frac{\frac{7}{14}(1-(\frac{7}{14})^{n}}{1-\frac{7}{14}}-\frac{\frac{2}{14}(1-(\frac{2}{14})^{n}}{1-\frac{2}{14}}=...[/m]
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}=\frac{\frac{7}{14}}{\frac{7}{14}}-\frac{\frac{2}{14}}{\frac{12}{14}}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}[/m]
4.
Раскладываем дробь на простейшие:
[m]\frac{3n-1}{n(n^2-1}=\frac{A}{n}+\frac{B}{n-1}+\frac{D}{n+1}[/m]
[m]3n-1=A(n^2-1)+B(n^2+n)+D(n^2-n)[/m]
A+B+D=0
B-D=3
-A=-1 ⇒ A=1
B=1
D=-2
[m] S_{n}=(\frac{1}{2}+\frac{1}{2-1}-\frac{2}{2+1})+(\frac{1}{3}+\frac{1}{3-1}-\frac{2}{3+1})+(\frac{1}{4}+\frac{1}{4-1}-\frac{2}{4+1})+...+(\frac{2}{n-1}+\frac{2}{n-2}-\frac{2}{n})+(\frac{1}{n}+\frac{1}{n-1}-\frac{2}{n+1})=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}-\frac{2}{n}+\frac{1}{n}-\frac{2}{n+1}[/m]
[m]S=lim_{n → ∞} S_{n}=\frac{1}{2}+1+\frac{1}{2}=2[/m]