Задача 69434 Прошу помочь [b]1[/b].Даны уравнения...
Условие
[b]1[/b].Даны уравнения одной из сторон ромба х-3у+10=0 и одной из его диагоналей х+4у-4=0; диагонали ромба пересекаются в точке (0;1). Найти уравнения остальных сторон ромба.
[b]2[/b].Даны две вершины треугольника АВС: А(-6;2), В(2; -2) и точка пересечения его высот Н(1; 2). Найти координаты точки М пересечения стороны АС и высоты ВН.
[b]3[/b].Даны вершины треугольника АВС: А(2; 3), В(0; -3), С(6; -3). Вычислить координаты точки пересечения перпендикуляров, проведенных через середины сторон треугольника.
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x–3y+10=0\\x+4y–4=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=3y-10\\3y-10+4y–4=0\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=3y-10\\7y=14\end {matrix}\right.[/m]⇒ [m]\left\{\begin {matrix}x=3\cdot 2-10\\y=2\end {matrix}\right.[/m]
Находим координаты точки пересечения одной из сторон и диагонали:
(-4;2)
Так как диагонали в точке пересечения делятся пополам, то легко найти точку, противоположную точке (-4;2) и принадлежащую этой же диагонали
По формулам нахождения координат середины отрезка: [m]x_{C}=\frac{x_{A}+x_{B}}{2}; y_{C}=\frac{y_{A}+y_{B}}{2}[/m]
[m]0=\frac{-4+x}{2}; 1=\frac{1+y}{2}[/m]
x=4
y=0
Уравнение прямой параллельной прямой х-3у+10=0
имеет вид:
x-3y+c=0
Подставляем координаты точки (4;0) и получаем
4-3*0+с=0
с=-4
[b]x-3y-4=0[/b] - уравнение второй стороны ромба, параллельной данной
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны.
Составляем уравнение второй диагонали, как прямой, перпендикулярной прямой х+4у–4=0
-4x+y+c=0
и проходящей через точку (0;1)
-4*0+1+c=0
c=-1
-4x+y-1=0
Находим точки пересечения этой диагонали со сторонами
[m]\left\{\begin {matrix}x–3y+10=0\\-4x+y–1=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒[m]\left\{\begin {matrix}x–3(4x+1)+10=0\\y=4x+1\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]\left\{\begin {matrix}x–12x-3+10=0\\y=4x+1\end {matrix}\right.[/m]
x=7/11
y=39/11
[m]\left\{\begin {matrix}x–3y-4=0\\-4x+y–1=0\end {matrix}\right.[/m] ⇒⇒[m]\left\{\begin {matrix}x–3(4x+1)-4=0\\y=4x+1\end {matrix}\right.[/m]⇒[m]\left\{\begin {matrix}x–12x-3-4=0\\y=4x+1\end {matrix}\right.[/m]
x=-7/11
y=-17/11
Составляем уравнения двух сторон ромба как прямых, проходящих через две точки
Первая прямая проходит через точки (4;0) и [m](\frac{7}{11};\frac{39}{11})[/m]
[m]\frac{x-4}{\frac{7}{11}-4}=\frac{y-0}{\frac{39}{11}-0}[/m] ⇒[m]\frac{x-4}{-\frac{37}{11}}=\frac{y}{\frac{39}{11}}[/m] [m]39(x-4)=-37y[/m]
[m]39x+37y-156=0[/m]
Вторая - через точки (-4;2) и [m](-\frac{7}{11};-\frac{17}{11})[/m]
[m]\frac{x+4}{-\frac{7}{11}+4}=\frac{y-2}{-\frac{17}{11}-2}[/m] ⇒ [m]37(y-2)=-39(x+4)[/m]
[m]39x+37y+82=0[/m]
О т в е т.
-4x+y-1=0- уравнение второй диагонали
[b]x-3y-4=0[/b] - уравнение второй стороны ромба, параллельной данной
Уравнение двух других сторон
[m]39x+37y-156=0[/m]
[m]39x+37y+82=0[/m]
[b]Остальные задачи выставляйте по одной в каждом вопросе.[/b]
