Задача 69385 Векторы. Заранее благодарю ...
Условие
Решение
[m]=3\vec{a}\cdot \vec{a}-\frac{1}{2} \vec{b}\cdot \vec{a}-3 \vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{2}\vec{b}\cdot \vec{b}=3\vec{a}\cdot \vec{a}-\frac{7}{2} \vec{b}\cdot \vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\cdot \vec{b}=[/m]
так как по свойствам скалярного произведения [m]\vec{b}\cdot \vec{a}=\vec{a}\cdot \vec{b}[/m]
[m]=6\vec{a}\cdot \vec{a}-\frac{3}{2} \vec{a}\cdot \vec{b}=[/m]
[m]\vec{a}=-5\vec{m}+3\vec{n}[/m]
[m]\vec{b}=2\vec{m}+4\vec{n}[/m]
Находим:
[m]\vec{a}\cdot \vec{a}=(-5\vec{m}+3\vec{n})(-5\vec{m}+3\vec{n})=25\vec{m}\cdot \vec{m}-15\vec{n}\cdot 3\vec{m} -15\vec{m}\cdot \vec{n}+9\vec{n}\cdot \vec{n}=25\vec{m}\cdot \vec{m}-30\vec{m}\cdot \vec{n}+9\vec{n}\cdot \vec{n}[/m]
[m]\vec{a}\cdot \vec{b}=(-5\vec{m}+3\vec{n})(2\vec{m}+4\vec{n})=-10\vec{m}\cdot \vec{m}-20\vec{m}\cdot \vec{n}+6\vec{n}\cdot \vec{m}+12\vec{n}\cdot \vec{n}=-10\vec{m}\cdot \vec{m}-14\vec{m}\cdot \vec{n}+12\vec{n}\cdot \vec{n}[/m]
[m]\vec{b}\cdot \vec{b}=(2\vec{m}+4\vec{n})(2\vec{m}+4\vec{n})=4\vec{m}\cdot \vec{m}+8\vec{m}\cdot \vec{n}+8\vec{n}\cdot \vec{m}+16\vec{n}\cdot \vec{n}=8\vec{m}\cdot \vec{m}+16\vec{m}\cdot \vec{n}+16\vec{n}\cdot \vec{n}[/m]
По определению скалярного произведения:
[m]\vec{m}\cdot \vec{m}=|\vec{m}|\cdot| \vec{m}|\cdot cos0=5\cdot 5\cdot 1=25[/m]
[m]\vec{m}\cdot \vec{n}=|\vec{m}|\cdot| \vec{n}|\cdot cosπ=5\cdot 4\cdot (-1)=-20[/m]
[m]\vec{n}\cdot \vec{n}=|\vec{n}|\cdot| \vec{n}|\cdot cos0=4\cdot 4\cdot 1=16[/m]
Тогда
[m]\vec{a}\cdot \vec{a}=25\vec{m}\cdot \vec{m}-30\vec{m}\cdot \vec{n}+9\vec{n}\cdot \vec{n}=25\cdot 25-30\cdot (-20)+9\cdot 16=625+600+144=1369[/m]
[m]\vec{a}\cdot \vec{b}=-10\vec{m}\cdot \vec{m}-14\vec{m}\cdot \vec{n}+12\vec{n}\cdot \vec{n}=-10\cdot 25-14\cdot (-20)+12\cdot 16=-250+280+192=222[/m]
[m]\vec{b}\cdot \vec{b}=8\vec{m}\cdot \vec{m}+16\vec{m}\cdot \vec{n}+16\vec{n}\cdot \vec{n}=8\cdot 25+16\cdot (-20)+16\cdot 16=200-320+256=136[/m]
Таким образом
[m](-3\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b})\cdot (-\vec{a}+\vec{b})=3\vec{a}\cdot \vec{a}-\frac{7}{2} \vec{a}\cdot \vec{b}+\frac{1}{2}\vec{b}\cdot \vec{b}=3\cdot 1369-\frac{7}{2}\cdot222+\frac{1}{2}\cdot 136=...[/m]
б)
пр[m]_{\vec{b}}(-\vec{a}+\vec{b})=\frac{(-\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}}{|\vec{b}|}[/m]
[m]|\vec{b}|^2=\vec{b}\cdot \vec{b}=136[/m]
[m]|\vec{b}|=\sqrt{136}[/m]
[m](-\vec{a}+\vec{b})\cdot \vec{b}=-\vec{a}\cdot \vec{b}+\vec{b}\cdot \vec{b}=-222+136=-86[/m]
пр[m]_{\vec{b}}(3\vec{a}-2\vec{b})=\frac{(-86)}{\sqrt{136}}[/m]
в)
[m]∠ (\vec{a}, \vec{b})=?[/m]
[m]cos( ∠ \vec{a},\cdot \vec{b})=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|}=\frac{222}{\sqrt{1369}\cdot \sqrt{136}}[/m]