Задача 69383 Вычислить объем параллелепипеда,...

63df89eca3f7ac3262661e55

19.02.2023 00:23:13

Вычислить объем параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c если а= (— 5;—2;1), b = (3;-4;2), c =(1-3;-4)

Найти координаты единичного вектора e, который будучи перпендикулярен векторам a =(1;0;-4) и b= (-2;0:3), образует с ними правую тройку

Найти |b x c| ‚ если известны длины векторов b =4, c = З и скалярное произведение b*c = 6.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

19.02.2023 08:50:53

★

1.
[m]V=\frac{1}{6}|(\vec{a},\vec{b} ,\vec{c})|[/m]

Найдем смешанное произведение векторов:

[m]
(\vec{a},\vec{b} ,\vec{c })=\begin {vmatrix} -5&-2&1\\3&-4&2\\1&-3&-4\end {vmatrix}=80-4-9+4-30-24=-143[/m]

[m]V=\frac{1}{6}|-143|=23\frac{5}{6}[/m]

2.


[m]\vec{c} ⊥ \vec{a} [/m] и [m]\vec{c} ⊥ \vec{b} ⇒\vec{c} =\vec{a} × \vec{b}[/m]


[m]\vec{a} × \vec{b}=\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\1&0&-4\\-2&0&3\end {vmatrix}=0\vec{i}-5\vec{j}+0\vec{k}[/m]

[m]\vec{c}=(0;-5;0)[/m]

По определению, тройка векторов [m]\vec{a}, \vec{b},\vec{c}[/m] - правая, если их смешанное произведение положительно

[m](\vec{a},\vec{b} ,\vec{c })=\begin {vmatrix} 1&0&-4\\-2&0&3\\0&-5&0\end {vmatrix}=-25[/m]

Значит тройка векторов [m]\vec{a}, \vec{b},\vec{c}[/m]- левая


[m]|\vec{c}/=5[/m]


[m]\vec{e}=\frac{\vec{c}}{|\vec{c}|}[/m]

[m]\vec{e}=(0;-1;0)[/m]

Значит, чтобы условие выполнялось выбираем вектор, противоположный найденному


О т в е т. (0;1;0)



3.

[m][\vec{b}, \vec{c}]=|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot sin ∠( \vec{b},\vec{c}) [/m]

[m]|\vec{a}|=4; |\vec{c}|=3[/m]

[m]∠( \vec{b},\vec{c})=? [/m]

и
[m]\vec{b}\cdot \vec{c}=6[/m]

Так как

[m]\vec{b}\cdot \vec{c}=|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot cos ∠( \vec{b},\vec{c}) [/m] ⇒


[m]cos ∠( \vec{b},\vec{c})=\frac{\vec{b}\cdot \vec{c}}{|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|} =\frac{6}{4\cdot 3}=\frac{1}{2}[/m]

[m] ∠( \vec{b},\vec{c})=\frac{π}{3}[/m]


[m][\vec{b}, \vec{c}]=|\vec{b}|\cdot |\vec{c}|\cdot sin ∠( \vec{b},\vec{c})=4\cdot 3 \cdot sin60 °=6\sqrt{3} [/m]