Задача 69382 Даны точки -- вершины АВС. Вычислить...
Условие
Даны векторы. При каком значении х три векторов a, b, c лежат в одной плоскости?
Найти разложение вектора АМ по базису АВ ‚ АD ‚ ..
Решение
S_( Δ ABC)=(1/2)*b*h_(b)
S_( Δ ABC)=(1/2)|vector{a} × vector{b}|
[m]\vec{AB}=(-2-2;-1-(-5);3-1)=(-4;4;2)[/m]
[m]\vec{AC}=(0-2;-3-(-5);-1-1)=(-2;2;-2)[/m]
[m]\vec{AB} × \vec{AC}=\begin {vmatrix} \vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\-4&4&2\\-2&2&-2\end {vmatrix}=-8\vec{i}-4\vec{j}-8\vec{k}+8\vec{k}-4\vec{i}-8\vec{j}=-12\vec{i}-12\vec{j}[/m]
[m]|\vec{BA} × \vec{BC}|=12\sqrt{2}[/m]
[m]|\vec{AC}|=\sqrt{(-2)^2+2^2+(-2)^2}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}[/m]
h_(b)=2S/AC=2sqrt(6)
2.
Векторы лежат в одной плоскости, значит не образуют пирамиду.
Смешанное произведение равно 0.
Найдем смешанное произведение векторов:
[m]
(\vec{a},\vec{b} ,\vec{c })=\begin {vmatrix} -2&2&-1\\3&-5&-4\\-1&x&-6\end {vmatrix}=-60+8-3x+5-8x+36=-11-11x[/m]
[m]-11-11x=0[/m]
[m]x=-1[/m]
3.
[m]\vec{AM}= α \vec{AB}+ β \vec{AD}[/m]
[m]\vec{AM}= (16-2;15-3)=(14;12)[/m]
[m] \vec{AB}=(-2-2;6-3)=(-4;3)[/m]
[m] \vec{AD}=(4-2;9-3)=(2;6)[/m]
[m]\left\{\begin {matrix}14= α\cdot (-4)+ β \cdot 3 \\12= α\cdot 3+ β\cdot 6\end {matrix}\right.[/m] ⇒
[m] α =; β =[/m]