Задача 69375 ...
Условие
???? =1/(sin????+cos ????), (−????/4≤ ???? ≤????/4)
Решение
[m] ρ ^2+( ρ `)^2=(\frac{1}{sin φ +cos φ })^2 +(-\frac{cos φ -sin φ }{(sin φ +cos φ )^2})^2=\frac{(sin φ+cos φ)^2 +(cos φ -sin φ)^2 }{(sin φ+cos φ)^2)^2 }=\frac{2}{((sin φ+cos φ)^2)^2 } [/m]
[m]\sqrt{ ρ ^2+( ρ `)^2}=\frac{\sqrt{2}}{(sin φ +cos φ )^2}[/m]
[m]L= ∫^{\frac{π}{4}} _{-\frac{π}{4}}\frac{\sqrt{2}}{(sin φ +cos φ )^2}d φ= [/m]
[m]=\sqrt{2} ∫^{\frac{π}{4}} _{-\frac{π}{4}}\frac{d φ }{cos^2 φ (tg φ +1)^2}= [/m]
[m]=\sqrt{2} ∫^{\frac{π}{4}} _{-\frac{π}{4}}\frac{d tg φ }{ (tg φ +1)^2}=-\sqrt{2}\frac{1}{tg φ+1}|^{\frac{π}{4}} _{-\frac{π}{4}}= [/m]
[m]=-\sqrt{2}\frac{1}{tg\frac{π}{4}+1}+\sqrt{2}\frac{1}{tg(-\frac{π}{4})+1}=-\sqrt{2}\frac{1}{tg\frac{π}{4}+1}+ ∞= ∞ [/m]
Это прямая. У прямой нет длины. Прямая бесконечна
Перейдем к декартовым координатам
[m]x= ρ cos φ [/m] ⇒ [m]cos φ =\frac{x}{ ρ }[/m]
[m]y= ρ sin φ [/m] ⇒ [m]sin φ =\frac{y}{ ρ }[/m]
[m] ρ =\frac{1}{\frac{y}{ ρ }+\frac{x}{ ρ}}[/m] ⇒ [m]x+y=1[/m]
[m]y=-x+1[/m]
Прямая образует угол (-π/4) c положительным направлением оси Ох
