Задача 69320 Составить каноническое уравнение кривой,...
Условие
равноудалена от точки F(0;-3) и прямой y = -5.
Нужно полное решение
Решение
равноудалена от точки F(0; –3) и прямой y = –5.
Если точка M(x, y) удалена от прямой y = -5 на расстояние r, то
ее координаты: x - какое угодно, y1 = -5 - r или y2 = -5 + r.
Это показано на рисунке.
Далее, эта точка должна быть удалена на такое же расстояние r от точки F(0; -3)
Из рисунка видно, что нам нужна точка M1(x; -5+r), потому что расстояние от F(0; -3) до M2(x; -5-r) явно больше числа r.
|FM1| = sqrt((x-0)^2 + (-5+r+3)^2) = r
sqrt(x^2 + (r-2)^2) = r
Возводим в квадрат:
x^2 + r^2 - 4r + 4 = r^2
x^2 - 4r + 4 = 0
x^2 + 4 = 4r
r = x^2/4 + 1
y = -5 + r
y = x^2/4 - 4
Это парабола, и ее вершина лежит в точке:
x0 = 0; y0 = -4
Она показана на втором рисунке.
