Задача 69261 Задано уравнение плоскости Р1, прямой L1...
Условие
Найти:
1) уравнение плоскости Р2 проходящей через точку М параллельно плоскости Р1;
2) уравнение плоскости Р3. Проходящая через точку М перпендикулярно прямой L1;
3) уравнение прямой L2, проходящей через точку М перпендикулярно плоскости Р1;
4) уравнение прямой L3„ проходящей через точку М параллельно прямой L1;
5) точку N пересечения прямой L1 и плоскости Р1;
6) расстояние от точки М до плоскости Р1
7) расстояние от точки М до прямой L1
8) проекцию точки М на плоскость Р1 ;
9) проекцию точки М на прямую L1
P1: 2x-5z+3 = 0
L1: (x+1)/4 = (y-1)/2 = z/3, M(1, -1, 0)
Решение
P1 : 2x + 0y - 5z + 3 = 0
L1 : (x + 1)/4 = (y - 1)/2 = (z - 0)/3
M(1; -1; 0)
Найти:
1) Уравнение P2, проходящей через M параллельно P1:
2(x - 1) + 0(y + 1) - 5(z - 0) = 0
[b]2x - 5z - 2 = 0[/b]
2) Уравнение P3, проходящей через М перпендикулярно L1:
4(x - 1) + 2(y + 1) + 3(z - 0) = 0
4x - 4 + 2y + 2 + 3z = 0
[b]4x + 2y + 3z - 2 = 0[/b]
3) Уравнение L2, проходящей через М перпендикулярно P1:
[b](x - 1)/2 = (y + 1)/0 = (z - 0)/5[/b]
В данном случае 0 в знаменателе - это вполне законно.
Это означает, что прямая L2 параллельна оси Oy.
4) Уравнение L3, проходящей через M параллельно L1:
[b](x - 1)/4 = (y + 1)/2 = (z - 0)/3[/b]
5) Точку N пересечения прямой L1 и плоскости P1:
Выразим прямую L1 параметрически:
(x + 1)/4 = (y - 1)/2 = (z - 0)/3 = t
{ x = 4t - 1
{ y = 2t + 1
{ z = 3t
Подставим эти уравнения в уравнение плоскости P1:
2(4t - 1) + 0(2t + 1) - 5*3t + 3 = 0
8t - 2 - 15t + 3 = 0
-7t + 1 = 0
t= 1/7
Подставляем t в параметрические уравнения прямой L1:
{ x = 4t - 1 = 4/7 - 1 = -3/7
{ y = 2t + 1 = 2/7 + 1 = 9/7
{ z = 3t = 3/7
Координаты точки [b]N(-3/7; 9/7; 3/7)[/b]
6) Расстояние от точки М до плоскости P1:
[m]ρ(M, P1) = \frac{2 \cdot 1 + 0 \cdot (-1) - 5 \cdot 0}{\sqrt{2^2+0^2+5^2}} = \frac{2}{\sqrt{29}} = \frac{2\sqrt{29}}{29}[/m]
[b]ρ(M, P1) = 2sqrt(29)/29[/b]
7) Расстояние от точки М до прямой L1:
Прямая L1 проходит через точку M0(-1; 1; 0)
Находим вектор [b]M0M[/b]: (1+1; -1-1; 0-0) = (2; -2; 0)
Направляющий вектор прямой L1: [b]a[/b]:(4; 2; 3)
Построим параллелограмм на этих векторах [b]M0M[/b] и [b]a[/b].
Площадь этого пар-грамма есть модуль векторного произведения [b]a[/b]x[b]M0M[/b] ;
[m]S = \begin{pmatrix}
i & j & k \\
2 & -2 & 0 \\
4 & 2 & 3 \\
\end{pmatrix} =[/m]
= i(-2)*3 + j*0*4 + k*2*2 - i*0*2 - j*2*3 - k(-2)*4 =
= -6i + 0 + 4k - 0 - 6j + 8k = -6i - 6j + 12k = (-6; -6; 12)
Модуль этого вектора S :
|S| = sqrt((-6)^2 + (-6)^2 + 12^2) = sqrt(36+36+144) = sqrt(216)
Длина направляющего вектора:
|a| = sqrt(4^2 + 2^2 + 3^2) = sqrt(16+4+9) = sqrt(29)
Расстояние от точки М до прямой L1:
[m]ρ(M, L1) = \frac{\sqrt{216}}{\sqrt{29}} = \frac{6\sqrt{6} \cdot \sqrt{29}}{29} = \frac{6\sqrt{174}}{29}[/m]
[b]ρ(M, L1) = 6sqrt(174)/29[/b]
8) Проекция точки М на плоскость P1:
Прямая L2. найденная в п. 3:
L2 : (x - 1)/2 = (y + 1)/0 = (z - 0)/5
Составляем уравнения L2 как пересечения плоскостей:
{ 5(x - 1) = 2(z - 0)
{ 2(y + 1) = 0
Получаем:
{ 5x - 2z - 5 = 0
{ y = -1
Составляем систему 3 уравнений и находим точку M1:
{ 2x - 5z + 3 = 0
{ 5x - 2z - 5 = 0
{ y = -1
Умножаем 1 уравнение на -2, а 2 уравнение на 5:
{ -4x + 10z - 6 = 0
{ 25x - 10z - 25 = 0
{ y = -1
И складываем 1 и 2 уравнения:
{ 21x - 31 = 0
{ y = -1
Отсюда x = 31/21; y = -1;
z = (5x - 5)/2 = (155/21 - 5)/2 = (155 - 105)/42 = 50/42 = 25/21
Проекция точки М на плоскость P1: [b]M1(31/21; -1; 25/21)[/b]
9) Проекция точки М на прямую L1:
Плоскость P3, найденная в п. 2:
P3 : 4x + 2y + 3z - 2 = 0
Как и в п. 8, уравнение L1 как пересечения плоскостей:
{ 2(x + 1) = 4(y - 1)
{ 3(x + 1) = 4z
{ 3(y - 1) = 2z
Получаем:
{ 2x - 4y + 6 = 0
{ 3x - 4z + 3 = 0
Составляем систему 3 уравнений и находим точку M2:
1 уравнение сокращаем на 2.
{ x - 2y + 3 = 0
{ 3x - 4z + 3 = 0
{ 4x + 2y + 3z - 2 = 0
Умножаем 1 уравнение на -3, и складываем 1 и 2 уравнения.
Умножаем 1 уравнение на -4 и складываем 1 и 3 уравнения.
{ x - 2y + 3 = 0
{ 0x + 6y - 4z - 6 = 0
{ 0x + 10y + 3z - 14 = 0
2 уравнение сокращаем на 2:
{ x - 2y + 3 = 0
{ 0x + 3y - 2z - 3 = 0
{ 0x + 10y + 3z - 14 = 0
2 уравнение умножаем на 10, а 3 уравнение на -3 и складываем:
{ x - 2y + 3 = 0
{ 0x + 3y - 2z - 3 = 0
{ 0x + 0y - 29z + 12 = 0
Решаем:
{ z = 12/29
{ 3y = 2z + 3 = 24/29 + 3 = 111/29
{ x = 2y - 3
Получаем:
{ z = 12/29
{ y = 37/29
{ x = 74/29 - 3 = -13/29
Проекция точки М на прямую L1: [b]M2(-13/29; 37/29; 12/29)[/b]