Задача 69227 Заданы прямые и и точка М. Найти: 1)...

63eb92c3ad544a2f8e7a5aea

14.02.2023 16:56:56

Заданы прямые и и точка М.
Найти:
1) угловой коэффициент прямой и отрезок, отсекающий эта прямая на оси ординат;
2) уравнение прямых и в отрезках;
3) точку N пересечения прямых и ;
4) уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой ;
5) уравнение прямой , проходящей через точку М перпендикулярно прямой
6) расстояние от точки М до прямой : (().
Все результаты иллюстрировать графически.
l1: 3х - 2у - 16 = 0, l2: х + 7у + 10 = 0; М(- 10, 3).

5f3ea7e3faf909182968ddd9

14.02.2023 17:02:20

★

1)
l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,
2y=3x-16

y=(3/2)x-8
угловой коэффициент k_(1)=3/2

tg α =k_(1)=3/2



x=0 ⇒ y=-8

Точка пересечения прямой с осью Оy ( 0; -8)

Значит прямая l_(1) отсекает на оси Оу отрезок длины |-8-0|=8





l_(2): х + 7у + 10 = 0

Аналогичные вычисления приведут к ответу


2)
l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,

3x-2у=16

Делим на 16:

[m]\frac{3x}{16}-\frac{2y}{16}=1[/m]


[m]\frac{x}{\frac{16}{3}}+\frac{y}{(-8)}=1[/m] - уравнение прямой l_(1) в отрезках


3)
Чтобы найти точку пересечения прямых решаем систему уравнений:

[m]\left\{\begin {matrix}3х – 2у – 16 = 0\\х + 7у + 10 = 0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}3(-7y-10) – 2у – 16 = 0\\х =- 7у - 10 \end {matrix}\right.[/m] ⇒ [m]\left\{\begin {matrix}-21y-30 – 2у – 16 = 0\\х =- 7у - 10 \end {matrix}\right.[/m] [m]\left\{\begin {matrix}-23y = 46\\х =- 7у - 10 \end {matrix}\right.[/m]

N(4;-2)


4) уравнение прямой , проходящей через точку М параллельно прямой l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,

Параллельные прямые имеют одинаковые направляющие векторы

vector{n_(1)}=(3;-2)

3x-2y+c=0 - уравнения прямых, параллельных прямой l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,

Чтобы найти конкретную прямую, проходящую через точку М(– 10, 3). подставим координаты точки в уравнение:

3*(-10)-2*(3) + с=0

с=36

3x-2y+36=0 - уравнение прямой , проходящей через точку М(– 10, 3) параллельно прямой l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,

5) уравнение прямой , проходящей через точку М(– 10, 3) перпендикулярно прямой l_(1): 3х – 2у – 16 = 0

Такая прямая проходит параллельно вектору vector{n_(1)}=(3;-2)

т.е. вектор vector{n_(1)}=(3;-2) становится направляющим вектором прямой

Уравнение прямой, проходящей через точку M_(o)(x_(o);y_(o)) c направляющим вектором (a;b) имеет вид:

[m]\frac{x-x_(o)}{a}=\frac{y-y_(o)}{b}[/m]


[m]\frac{x-(-10)}{3}=\frac{y-3}{(-2)}[/m]

[m]\frac{x+10}{3}=\frac{y-3}{(-2)}[/m] ⇒ -2*(x+10)=3*(y-3)

2x+3y+11=0 - уравнение прямой , проходящей через точку М(– 10, 3) перпендикулярно прямой l_(1): 3х – 2у – 16 = 0

6) расстояние от точки М(– 10, 3) до прямой : l_(1): 3х – 2у – 16 = 0,

d=|3*(-10)-2*3-16|/sqrt(3^2+(-2)^2)=52/sqrt(13)=4sqrt(13)


по формуле ( cм. скрин)