Задача 69208 Доказать сходимость ряда, Пользуясь...
Условие
Решение
ряд сходится если существует предел последовательности частичных сумм ряда
[m]S=lim_{n → ∞ }S_{n}[/m]
Последовательность частичных сумм:
[m]S_{1}=\frac{1}{3}[/m]
[m]S_{2}=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}=\frac{2}{3}[/m]
[m]S_{3}=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}=\frac{23}{27}[/m]
[m]S_{n}=\frac{1}{3}+\frac{3}{3^2}+\frac{5}{3^3}+...+\frac{2n-1}{3^{n}}=...[/m]- скорее всего не получится упростить это выражение...
Т.е не получится доказать сходимость по определению
Cкорее всего [m]lim_{n → ∞ }S_{n}=1[/m]
И сумма ряда скорее всего равна 1. Но это надо доказать
Значит, применяем признаки сходимости
[b] Признак сравнения[/b] с геометрической прогрессией [m] ∑^{∞}_{n=1} \frac{1}{3^{n}} [/m] не поможет, так как
[m]\frac{2n-1}{3^{n}}> \frac{1}{3^{n}} [/m]
Ряд с меньшими членами сходится, ряд с большими может быть любым как сходящимся , так и расходящимся...
[b] Признак Даламбера[/b] :
[m]lim_{n → ∞ }\frac{a_{n+1}}{a_{n}}=lim_{n → ∞ }\frac{\frac{2(n+1)-1}{3^{n+1}}}{\frac{2n-1}{3^{n}}}=lim_{n → ∞ }3\cdot \frac{(2n+1}{2n-1}=\frac{1}{3}<1[/m]
Ряд сходится
[b] Интегральный признак[/b]
[m] ∫^{+ ∞} _{1} \frac{2x-1}{3^{x}}dx=∫^{+ ∞} _{1}\underbrace{(2x-1)}_{u}\cdot\underbrace{ 3^{-x}dx}_{dv}=[/m]
[i]метод интегрирования по частям[/i]
[m]u=2x-1[/m] ⇒ [m]du=(2x-1)`dx=2dx[/m]
[m]dv=3^{-x}dx[/m] ⇒ [m]v= ∫ 3^{-x}dx=-\frac{3^{-x}}{ln3}[/m]
[m]=\underbrace{-\frac{3^{-x}}{ln3}}_{v}\cdot \underbrace {(2x-1)}_{u}|^{+ ∞} _{1}-∫^{+ ∞} _{1}\underbrace{(-\frac{3^{-x}}{ln3})}_{v}\cdot \underbrace{2dx}_{du}=[/m]
[m]=\underbrace{-lim_{x → ∞ }\frac{2x-1}{3^{x}ln3}}_{по... правилу... Лопиталя ...:0}+\frac{1}{3^{1}\cdot ln3}\cdot (2\cdot1-1)+\frac{2}{ln3}∫^{+ ∞} _{1}3^{-x}dx=[/m]
[m]=0+\frac{1}{3\cdot ln3}+\frac{2}{ln3}\cdot (-\frac{3^{-x}}{ln3})|^{+ ∞} _{1}=[/m]
[m]=\frac{1}{3\cdot ln3}-\frac{2}{ln3}\cdot \underbrace {lim_{x → ∞} \frac{3^{-x}}{ln3})}_{0}+\frac{2}{ln3}\cdot \frac{1}{3ln3}=[/m] число
Cходится.
Интеграл сходится, значит и ряд тоже сходится