Задача 69204 [red]Математика 1...
Условие
Вычислить площадь фигуры, ограниченной указанными линиями. Сделать чертеж.
Решение
Область выделена салатовым.
Промежутки интегрирования: (-1; 0); (0; 1)
Так как график симметричен относительно точки О, то:
[m]S=2 \cdot \int_0^1 (x - x^3) dx = 2 \cdot (\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}|_0^1) = 2 \cdot (\frac{1^2}{2} - \frac{1^4}{4} - 0) = [/m]
[m] = 2 \cdot (\frac{1}{2} - \frac{1}{4}) = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2}[/m]
Ответ: [b]S = 1/2[/b]
Все решения
x=x^3
x-x^3=0
x^2(1-x^2)=0
[b]x=0; x= ± 1[/b]
[m] S= ∫_{-1}^{0}(x^3-x)dx+ ∫ ^{1}_{0}(x-x^3 )dx=(\frac{x^4}{4}-\frac{x^2}{2})|_{-1}^{0}+(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4})|_{0}^{1}=[/m]
[m]=(\frac{0^4}{4}-\frac{0^2}{2})-(\frac{(-1)^4}{4}-\frac{(-1)^2}{2})+(\frac{1^2}{2}-\frac{1^4}{4})-(\frac{0^2}{2}-\frac{0^4}{4})=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}=\frac{1}{2}[/m]
Или в силу симметрии:
[m]S=∫^{1} _{0}(x-x^3)dx=2(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4})|^{1} _{0}=2(\frac{1}{2}-\frac{1}{4})=\frac{1}{2}[/m]
