Задача 69168 Комплексные числа если можно, с...
Условие
Решение
третья четверть, поэтому угол (-3π/4) так как углы берут либо от (0 до π) либо от ( -π до 0)
[m]|z|=\sqrt{8}[/m]
[m]z=\sqrt{8}(cos(-\frac{3π}{4})+isin(-\frac{3π}{4}))[/m] - тригонометрическая форма комплексного числа
Применяем формулу Муавра:
[m]\sqrt[4]{z}=\sqrt[4]{\sqrt{8}}\cdot (cos\frac{-\frac{3π}{4}+2πk}{4}+i\cdot sin\frac{-\frac{3π}{4}+2πk}{4})[/m], k =0,1,2,3
[m]\sqrt[4]{z}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{-\frac{3π}{4}+2πk}{4}+i\cdot sin\frac{-\frac{3π}{4}+2πk}{4})[/m]
k=0,1,2,3
при k=0
[m]z_{0}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4})}{4}+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4})}{4})[/m]
упрощаем
[m]z_{0}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos(-\frac{3π}{16})+i\cdot sin(-\frac{3π}{16}))[/m] ( см рис. точка в 4-ой четверти)
при k=1
[m]z_{1}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4}+2π}{4})+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4}+2π}{4})[/m]
[m]z_{1}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{5π}{16}+i\cdot sin\frac{5π}{16})[/m] ( см рис. точка в первой четверти)
между z_(0) и z_(1) 90 °
[m]\frac{5π}{16}-(-\frac{3π}{16})=\frac{8π}{16}=\frac{π}{2}[/m] (!)
при k=2
[m]z_{2}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4}+4π}{4})+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4}+4π}{4})[/m]
[m]z_{2}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{13π}{16}+i\cdot sin\frac{13π}{16})[/m][m] ( см рис. точка во второй четверти)
между z_(1) и z_(2) 90 °
[m]\frac{13π}{16}-(\frac{5π}{16})=\frac{8π}{16}=\frac{π}{2}[/m] (!)
при k=3
[m]z_{3}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{(-\frac{3π}{4}+6π}{4})+i\cdot sin\frac{(-\frac{3π}{4}+6π}{4})[/m]
[m]z_{3}=\sqrt[8]{2}\cdot (cos\frac{21π}{16}+i\cdot sin\frac{21π}{16})[/m] ( см. рис. точка в третьей четверти)
между z_(3) и z_(2) 90 °
[m]\frac{21π}{16}-(\frac{13π}{16})=\frac{8π}{16}=\frac{π}{2}[/m] (!)
Числа [m]z_{1}; z_{2};z_{3}; z_{4}[/m] расположены на окружности радиуса [m]\sqrt[8]{2}[/m]
Первая точка на луче [m]-\frac{3π}{16}[/m]
Эти три точки делят окружность на [b]4[/b] равные части ( на [b]4[/b] потому что корень четвертой степени)
между точками
360 ° /4=90 ° 
