Задача 69146 Решите уравнение (x-3)*(sqrt(2x-3) +...
Условие
Решение
Область определения:
{ 2x - 3 ≥ 0
{ x - 1 ≥ 0
x ≥ 3/2
Теперь решаем уравнение.
1 корень очевиден:
x1 = 3
Тогда слева и справа будет 0.
Далее, если x ≠ 3, то делим все уравнение на (x - 3):
sqrt(2x-3) + sqrt(x-1) = 2
sqrt(2x-3) = 2 - sqrt(x-1)
Возводим в квадрат левую и правую части:
2x - 3 = 4 - 4sqrt(x-1) + x - 1
4sqrt(x-1) = 4 + x - 1 - 2x + 3
4sqrt(x-1) = 6 - x
Снова возводим в квадрат:
16(x - 1) = 36 - 12x + x^2
x^2 - 12x + 36 - 16x + 16 = 0
x^2 - 28x + 52 = 0
(x - 2)(x - 26) = 0
x2 = 2; x3 = 26
Оба корня подходят под область определения, но надо проверить лишние корни.
1) x2 = 2:
(2-3)*(sqrt(4-3) + sqrt(2-1) = 2(2-3)
(-1)*(1 + 1) = 2(-1)
Верно, 2 - это корень.
2) x3 = 26:
(26-3)*(sqrt(52-3) + sqrt(26-1) = 2(26-3)
23*(7 + 5) = 2*23
Неверно, 26 - это лишний корень.
Ответ: x1 = 3; x2 = 2