Задача 69062 Даны комплексные числа z1 и z2 (табл....
Условие
записать в тригонометрической и алгебраической формах. Отметить полученные
числа на комплексной плоскости.
Решение
[m]z2 = \frac{-8}{\sqrt{3}-i} = \frac{-8(\sqrt{3}+i)}{(\sqrt{3}-i)(\sqrt{3}+i)} = \frac{-8(\sqrt{3}+i)}{3+1} = -2(\sqrt{3}+i) = -2\sqrt{3} - 2i[/m]
а) В тригонометрической форме:
z1 = 5sqrt(2)*(-1/sqrt(2) + 1/sqrt(2)*i) = 5sqrt(2)*(cos(3π/4) + i*sin(3π/4))
z2 = 4*(-sqrt{3}/2 - 1/2*i) = 4*(cos(7π/6) + i*sin(7π/6))
В показательной форме:
z1 = 5sqrt(2)*e^(i*3π/4)
z2 = 4*e^(i*7π/6)
б) Действия в алгебраической форме:
z1*z2 = (-5 + 5i)(-2sqrt(3) - 2i) = 10sqrt(3) - 10sqrt(3)*i + 10i - 10i^2 =
= 10sqrt(3) - 10sqrt(3)*i + 10i + 10 = 10(sqrt(3) + 1) + i*10(-sqrt(3) + 1)
[m]\frac{z1}{z2} = \frac{-5 + 5i}{-2\sqrt{3} - 2i} = \frac{(-5 + 5i)(-2\sqrt{3} + 2i)}{(-2\sqrt{3} - 2i)(-2\sqrt{3} + 2i)} = \frac{10\sqrt{3} - 10\sqrt{3}*i - 10i - 10}{4 \cdot 3 + 4} =\frac{5\sqrt{3} - 5 - (5\sqrt{3} + 5)*i}{8}[/m]
В показательной форме:
z1*z2 = 5sqrt(2)*e^(i*3π/4)*4*e^(i*7π/6) = 20sqrt(2)*e^(i*(3π/4 + 7π/6)) = 20sqrt(2)*e^(i*23π/12) = 20sqrt(2)*e^(-i*π/12)
z1/z2 = 5sqrt(2)*e^(i*3π/4) : (4*e^(i*7π/6)) = 5sqrt(2)/4*e^(i*(3π/4 - 7π/6)) = 1,25sqrt(2)*e^(-i*5π/12)
В тригонометрической форме:
z1*z2 = 20sqrt(2)*(cos(-π/12) + i*sin(-π/12))
z1/z2 = 1,25sqrt(2)*(cos(-5π/12) + i*sin(-5π/12))
в) z1 + z2 = -5 + 5i - 2sqrt(3) - 2i = -(5+2sqrt(3)) + 3i
Коэффициенты для тригонометрической формы:
|z|^2 = (-(5+2sqrt(3)))^2 + 3^2 = 25 + 20sqrt(3) + 4*3 + 9 = 46 + 20sqrt(3)
[m]tg (φ) = -\frac{3}{5+2\sqrt{3}} = -\frac{3(5-2\sqrt{3})}{(5+2\sqrt{3})(5-2\sqrt{3})} = -\frac{15-6\sqrt{3}}{25-4 \cdot 3} = -\frac{15-6\sqrt{3}}{13}[/m]
[m]tg^2 (φ) = \frac{(15-6\sqrt{3})^2}{169} = \frac{225 - 180\sqrt{3} + 36*3}{169} = \frac{333 - 180\sqrt{3}}{169}[/m]
[m]\frac{1}{cos^2 (φ)} = 1+tg^2 (φ) = \frac{169+333 - 180\sqrt{3}}{169} = \frac{502 - 180\sqrt{3}}{169}[/m]
[m]cos^2 (φ) = \frac{169}{502 - 180\sqrt{3}}[/m]
[m]sin^2(φ) = 1 - \frac{169}{502 - 180\sqrt{3}} = \frac{502 - 180\sqrt{3}-169}{502 - 180\sqrt{3}} = \frac{333 - 180\sqrt{3}}{502 - 180\sqrt{3}}[/m]
В тригонометрической форме:
[m]z1 + z2 = \sqrt{46 + 20\sqrt{3}}*(cos(φ) + i \cdot sin(φ))[/m]
Корень извлекайте сами, это какая-то садистская задача.