Задача 69012 найти все значения параметра, при...
Условие
Решение
2х^4 + (а–2)х^3 + 2х^2 + (а–2)х + 2 = 0
Найти все такие а, при которых уравнение имеет не менее двух отрицательных корней.
Уравнение симметрическое, делим его на x^2:
2x^2 + (a-2)x + 2 + (a-2)/x + 2/x^2 = 0
Перепишем его таким образом:
2(x^2 + 1/x^2) + (a-2)*(x + 1/x) + 2 = 0
Делаем замену: x + 1/x = y, тогда y^2 = x^2 + 2x*1/x + 1/x^2
Отсюда x^2 + 1/x^2 = y^2 - 2
Заметим, что при x > 0 будет y >= 2, а при x < 0 будет y ≤ -2.
2(y^2 - 2) + (a-2)y + 2 = 0
2y^2 - 4 + (a-2)y + 2 = 0
2y^2 + (a-2)y - 2 = 0
Решаем квадратное уравнение:
D = (a-2)^2 - 4*2(-2) = a^2-4a+4+16 = a^2-4a+20 > 0 при любом а.
Значит, при любом а уравнение имеет 2 различных корня:
y1 = (2 - a - √(a^2-4a+20))/4
y2 = (2 - a + √(a^2-4a+20))/4
Очевидно, что y2 > y1. Нам нужно выполнить условие:
[b]Не менее двух корней должны быть отрицательными[/b]
И при этом мы помним, что, [b]если x < 0, то y ≤ -2[/b].
Поэтому должно выполняться неравенство:
y1 = (2 - a - √(a^2-4a+20))/4 < -2
2 - a - √(a^2 - 4a + 20) < -8
√(a^2 - 4a + 20) > 2 - a + 8
√(a^2 - 4a + 20) > 10 - a
Если 10 - a < 0, то есть a > 10, то это условие выполнено всегда.
Если a ≤ 10, то возводим неравенство в квадрат:
a^2 - 4a + 20 > a^2 - 20a + 100
20a - 4a > 100 - 20
16a > 80
a > 5
Ответ: При a > 5
Все решения
2 ≠ 0
Значит[b] возможны[/b] три случая
уравнение имеет
1) два отрицательных корня
или
2) три отрицательных корня
или
3)четыре отрицательных корня
3)
Четыре отрицательных корня, значит левая часть уравнения раскладывается на множители:
(x-x_(1))*(x-x_(2))*(x-x_(3))*(x-x_(4))=0
См. рис. 2
При этом
f(0)=2
x_(1)*x_(2)*x_(3)*x_(4)=2
1)
два отрицательных корня
(x-x_(1))*(x-x_(2))*(x+x_(3))*(x+x_(4))=0
x_(1)>0
x_(2)>0
x_(3)<0
x_(4)<0
При этом
f(0)=2
x_(1)*x_(2)*x_(3)*x_(4)=1
2)
три отрицательных корня
(x-x_(1))*(x+x_(2))*(x+x_(3))*(x+x_(4))=0
x_(1)>0
x_(2) <0
x_(3)<0
x_(4)<0
При этом
f(0)=2
и тогда
x_(1)*x_(2)*x_(3)*x_(4)<0 и не может равняться 1
Значит этот случай невозможен
Далее применяем т Виета и рисунок
