Задача 68999 Линия задана уравнением р = р(ф) в...

63e15ab5df58ac790f9df49d

07.02.2023 10:45:40

Линия задана уравнением р = р(ф) в полярной системе ко–ординат. Требуется: 1) построить линию по точкам, придавая у значения через промежуток Пи/4; 2), найти уравнение кривой в прямоугольной системе координат, начало которой совмещено с полюсом, а положительная полуось Ох – с полярной осью. Пример 37 на фото.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

07.02.2023 10:53:08

★

В полярной системе координат используется [b]полярный луч[/b]

Любой луч задается точкой отсчета и направлением.

Направление полярного луча - положительное.

Поэтому на нем откладываем отрезки, значения которых больше или равны 0


ρ ≥ 0 ⇒

cosφ-sin φ ≥ 0

sqrt(2)*(cosφcos(π/4)-sin φ sin(π/4))≥ 0⇒cos(φ+(π/4))≥ 0

-(π/2)+2πn ≤ φ + (π/4) ≤(π/2)+2πn, n ∈ [b]Z[/b]

-(π/2)-(π/4)+2πn ≤ φ (π/4) ≤(π/2)-(π/4)+2πn, n ∈ [b]Z[/b]

-(3π/4)+2πn ≤ φ (π/4) ≤(π/4)+2πn, n ∈ [b]Z[/b]

График расположен в третьей, четвертой и первой четвертях:



Построение графика:

[i]в третьей четверти[/i]:

φ =-(3π/4)⇒ cos(-(3π/4))=-sqrt(2)/2; sin(-(3π/4))=-sqrt(2)/2
ρ=cos(-(3π/4))-sin(-(3π/4))=0

На луче φ =-(3π/4) откладываем расстояние ρ=0
получаем точку (-(3π/4); 0)

φ =-(5π/8)⇒ cos(-(5π/8))≈ -0,38; sin(-(5π/8))≈-0,92
ρ=cos(-(9π/8))-sin(-(9π/8))≈-0,38-(-0,92)=0,54

На луче φ =-(5π/8) откладываем расстояние ρ=0,54
получаем точку (-(5π/8); 0,54)

φ =-(π/2)⇒ cos(-(π/2))=0; sin(-(π/2))=-1
ρ=cos(-(π/2))-sin(-(π/2))=0-(-1)=1

На луче φ =-(π/2) откладываем расстояние ρ=1
получаем точку (-(π/2); 1)

Соединяем три точки плавной линией, получаем дугу окружности в третьей четверти ( см. рис.)



[i]в четвертой четверти[/i]
φ =-(3π/8)⇒cos (-(3π/8))≈ 0,38 ; sin(-(3π/8))≈- 0,92

ρ=cos (-(3π/8))- sin(-(3π/8))= 0,38-(-0,92)=1,3

На луче φ =-(3π/8) откладываем расстояние ρ=1,3
получаем точку (-(3π/8);1,3)


φ =-(π/4)⇒cos (-π/4)=sqrt(2)/2 ; sin(-π/4)=-sqrt(2)/2

ρ=cos (-π/4)- sin(-π/4)=sqrt(2)

На луче φ =-(π/4) откладываем расстояние ρ=sqrt(2)
получаем точку (-(π/4);sqrt(2))

φ =-(π/8)⇒cos (-(π/8))≈ 0,92 ; sin(-(π/8))≈- 0,38

ρ=cos (-(π/8))- sin(-(π/8))= 0,92-(-0,38)=1,3

На луче φ =-(π/8) откладываем расстояние ρ=1,3
получаем точку (-(π/8);1,3)


[i]в первой четверти[/i]:


φ =0⇒ cos0=1; sin0=0
ρ=cos0-sin0=1-0=1

На луче φ =0 откладываем расстояние ρ=1
получаем точку (0; 1)


φ =π/8⇒ cos(π/8) ≈0,92; sin(π/8) ≈ 0,38

ρ=cos(π/8)-sin(π/8)≈0,92-0,38=0,54

На луче φ =π/8 откладываем расстояние ρ=0,54
получаем точку (π/8;0,54 )

φ =π/4⇒cos (π/4)=sqrt(2)/2 ; sin (π/4)=sqrt(2)/2
ρ=cos (π/4)-sin (π/4)=0

На луче φ =π/4 откладываем расстояние ρ=0
получаем точку (π/4;0)




2)
x= ρ cos φ

y= ρ sin φ

x^2+y^2= ρ ^2(cos^2 φ +sin^2 φ = ρ ^2


ρ =sqrt(x^2+y^2)



Уравнение принимает вид:

sqrt(x^2+y^2)=(x/sqrt(x^2+y^2) ) - (y/sqrt(x^2+y^2) )

[b]x^2+y^2=x-y[/b]