Задача 68993 1.Найти значение матричного многочлена...
Условие
2.Решить систему уравнений методом Гаусса. Указать общее и одно частное решения.
3.Решить систему с помощью обратной матрицы и по формулам Крамера.
Решение
1) f(x) = -x^3 + 3x^2 + x - 2
[m]A = \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-3 & 0 \\
\end{pmatrix}[/m]
Чтобы найти f(A), найдем каждое слагаемое отдельно.
[m]A^2 = \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-3 & 0 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-3 & 0 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \cdot 2+(-1)(-3) & 2(-1)+(-1) \cdot 0 \\
(-3) \cdot 2+0(-3) & (-3)(-1)+0 \cdot 0 \\
\end{pmatrix}=[/m]
[m]= \begin{pmatrix}
8 & -2 \\
-6 & 3 \\
\end{pmatrix}[/m]
[m]A^3 = \begin{pmatrix}
8 & -2 \\
-6 & 3 \\
\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-3 & 0 \\
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
8 \cdot 2 + (-2)(-3) & 8(-1)+(-2) \cdot 0 \\
(-6) \cdot 2+3(-3) & (-6)(-1)+ 3 \cdot 0 \\
\end{pmatrix} =[/m]
[m]=\begin{pmatrix}
22 & -8 \\
-21 & 6 \\
\end{pmatrix} [/m]
[m]-A^3 = \begin{pmatrix}
-22 & 8 \\
21 & -6 \\
\end{pmatrix} [/m]
[m]3 \cdot A^2 = \begin{pmatrix}
24 & -6 \\
-18 & 9 \\
\end{pmatrix}[/m]
[m]-2 = \begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -2 \\
\end{pmatrix}[/m]
[m]f(A) = -A^3 + 3 \cdot A^2 + A - 2 =[/m]
[m]= \begin{pmatrix}
-22 & 8 \\
21 & -6 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
24 & -6 \\
-18 & 9 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
2 & -1 \\
-3 & 0 \\
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
-2 & 0 \\
0 & -2 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
Ответ: [m]f(A) = \begin{pmatrix}
2 & 1 \\
0 & 1 \\
\end{pmatrix}[/m]
2) Система уравнений методом Гаусса:
{ -3x1 + 2x2 + 5x3 - 2x4 = -1
{ -4x1 + 13x3 - x4 = -10
{ -2x1 + 3x2 - 3x3 - 4x4 = 6
{ 2x1 - 4x2 + 3x3 + 5x4 = -8
Составляем расширенную матрицу:
[m]\begin{pmatrix}
-3 & 2 & 5 & -2 & | & -1 \\
-4 & 0 & 13 & 1 & | & -10 \\
-2 & 3 & -3 & -4 & | & 6 \\
2 & -4 & 3 & 5 & | & -8 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 5 & | & -8 \\
-2 & 3 & -3 & -4 & | & 6 \\
-3 & 2 & 5 & -2 & | & -1 \\
-4 & 0 & 13 & 1 & | & -10 \\
\end{pmatrix} = [/m]
[m]= \begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 5 & | & -8 \\
0 & -1 & 0 & 1 & | & -2 \\
0 & -8 & 19 & 11 & | & -26 \\
0 & -8 & 19 & 11 & | & -26 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 5 & | & -8 \\
0 & -1 & 0 & 1 & | & -2 \\
0 & -8 & 19 & 11 & | & -26 \\
\end{pmatrix} = [/m]
[m]= \begin{pmatrix}
2 & -4 & 3 & 5 & | & -8 \\
0 & -1 & 0 & 1 & | & -2 \\
0 & 0 & 19 & 3 & | & -10 \\
\end{pmatrix} =[/m]
Получили систему:
{ 2x1 - 4x2 + 3x3 + 5x4 = -8
{ -x2 + x4 = -2
{ 19x3 + 3x4 = -10
Отсюда получаем общее решение:
[b]x4 ∈ R[/b] - свободная переменная.
[b]x3 = (-10 - 3x4)/19[/b]
[b]x2 = x4 + 2[/b]
Подставляем всё это в 1 уравнение:
2x1 - 4(x4 + 2) + 3(-10 - 3x4)/19 + 5x4 = -8
2x1 - 4x4 + 8 - 30/19 - 9x4/19 + 5x4 = -8
2x1 + x4 - 9x4/19 = -8 - 8 + 30/19
2x1 + (19x4 - 9x4)/19 = -16*19/19 + 30/19
Умножим всё на 19:
38x1 + 10x4 = -304 + 30
38x1 + 10x4 = -274
x1 = (-274 - 10x4)/38
[b]x1 = (-137 - 5x4)/19[/b]
Итак, общее решение:
x1 = (-137 - 5x4)/19; x2 = x4 + 2; x3 = (-10 - 3x4)/19; x4 ∈ R
Частное решение:
x4 = 3; x1 = (-137 - 15)/19 = -152/19 = -8;
x2 = 3 + 2 = 5; x3 = (-10 - 9)/19 = -1
Ответ: [b]x1 = (-137 - 5x4)/19; x2 = x4 + 2; x3 = (-10 - 3x4)/19; x4 ∈ R[/b]
[b](-8; 5; -1; 3)[/b]
3) Система уравнений методом Крамера:
{ 3x1 + x2 - x3 = 10
{ -3x1 + 3x2 + 2x3 = 8
{ 5x1 + 2x2 + 8x3 = -1
Главный определитель:
[m] Δ =\begin{vmatrix}
3 & 1 & -1 \\
-3 & 3 & 2 \\
5 & 2 & 8 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3*3*8 + (-1)(-3)*2 + 1*2*5 - 5*3(-1) - 8*1(-3) - 3*2*2 =
= 72 + 6 + 10 + 15 + 24 - 12 = 115 ≠ 0, значит, система имеет 1 решение.
Определяем переменные:
[m] Δ_{x1} =\begin{vmatrix}
10 & 1 & -1 \\
8 & 3 & 2 \\
-1 & 2 & 8 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 10*3*8 + 8*2(-1) + 1*2(-1) - (-1)*3(-1) - 8*1*8 - 10*2*2 =
= 240 - 16 - 2 - 3 - 64 - 40 = 115
[m] Δ_{x2} =\begin{vmatrix}
3 & 10 & -1 \\
-3 & 8 & 2 \\
5 & -1 & 8 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 3*8*8 + 5*10*2 + (-3)(-1)(-1) - 5*8(-1) - 8*10(-3) - (-1)*2*3 =
= 192 + 100 - 3 + 40 + 240 + 6 = 575
[m] Δ_{x3} =\begin{vmatrix}
3 & 1 & 10 \\
-3 & 3 & 8 \\
5 & 2 & -1 \\
\end{vmatrix} = [/m]
3*3(-1) + 5*8*1 + (-3)*2*10 - 5*3*10 - 3*2*8 - 1(-3)(-1) =
= -9 + 40 - 60 - 150 - 48 - 3 = -230
[m]x1 = \frac{Δ_{x1}}{Δ} = \frac{115}{115} = 1[/m]
[m]x2 = \frac{Δ_{x2}}{Δ} = \frac{575}{115} = 5[/m]
[m]x3 = \frac{Δ_{x3}}{Δ} = \frac{-230}{115} = -2[/m]
[b]Ответ: (1; 5; -2)[/b]