Задача 68961 Пожалуйста помогите 1. Проверить...
Условие
1. Проверить совместность системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) с помощью обратной матрицы (матричным методом); в) методом Гаусса
Решение
[m] Δ = \begin{vmatrix}
1 & 4 & -1 \\
0 & 5 & 4 \\
3 & -2 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*5*5 + 0*(-2)(-1) + 3*4*4 - 3*5(-1) - 0*4*5 - 1*(-2)*4 =
= 25 + 0 + 48 + 15 - 0 + 8 = 96 ≠ 0
Значит, система совместна и имеет 1 решение.
Решаем методом Крамера:
[m] Δ_{x1} = \begin{vmatrix}
6 & 4 & -1 \\
-20 & 5 & 4 \\
-22 & -2 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
6*5*5 + (-20)(-2)(-1) + (-22)*4*4 - (-22)*5(-1) - (-20)*4*5 - (-2)*4*6 =
= 150 - 40 - 352 - 110 + 400 + 48 = 96
[m] Δ_{x2} = \begin{vmatrix}
1 & 6 & -1 \\
0 & -20 & 4 \\
3 & -22 & 5 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1(-20)*5 + 0(-22)(-1) + 3*6*4 - 3(-20)(-1) - 0*6*5 - 1(-22)*4 =
= -100 + 0 + 72 - 60 - 0 + 88 = 0
[m] Δ_{x3} = \begin{vmatrix}
1 & 4 & 6 \\
0 & 5 & -20 \\
3 & -2 & -22 \\
\end{vmatrix} = [/m]
= 1*5(-22) + 0(-2)*6 + 4(-20)*3 - 3*5*6 - 0*4(-22) - 1(-2)(-20) =
= -110 + 0 - 240 - 90 - 0 - 40 = -480
Получаем результат:
[m]x1 = \frac{Δ_{x1}}{Δ} = \frac{96}{96} = 1[/m]
[m]x2 = \frac{Δ_{x2}}{Δ} = \frac{0}{96} = 0[/m]
[m]x3 = \frac{Δ_{x3}}{Δ} = \frac{-480}{96} = -5[/m]
Решаем методом Гаусса:
[m]\begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
3 & -2 & 5 & | & -22 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & -14 & 8 & | & -40 \\
\end{pmatrix} = [/m]
[m]= \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & 7 & -4 & | & 20 \\
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 4 & -1 & | & 6 \\
0 & 5 & 4 & | & -20 \\
0 & 12 & 0 & | & 0 \\
\end{pmatrix} = [/m]
[b]x2 = 0/12 = 0[/b]
7x2 - 4x3 = 20
0 - 4x3 = 20
[b]x3 = 20/(-4) = -5[/b]
x1 + 4x2 - x3 = 6
x1 + 0 - (-5) = 6
[b]x1 = 6 - 5 = 1[/b]
Ответ: x1 = 1; x2 = 0; x3 = -5