Задача 68946 Исследуйте на экстремум функцию...
Условие
Решение
Область определения: x ≠ 9
Экстремум - это точки, в которых y' = 0
[m]y' = \frac{(2x - 5)(x - 9) - (x^2 - 5x) \cdot 1}{(x-9)^2} = \frac{2x^2 - 23x + 45 - x^2 + 5x}{(x-9)^2} =\frac{x^2 - 18x + 45}{(x-9)^2} = 0[/m]
Если дробь равна 0, то ее числитель равен 0, а знаменатель нет.
x^2 - 18x + 45 = 0
(x - 3)(x - 15) = 0
x1 = 3; [m]y(3) = \frac{3^2 - 5 \cdot 3}{3 - 9} = \frac{9 - 15}{-6} =1[/m]
x2 = 15; [m]y(15) = \frac{15^2 - 5 \cdot 15}{15 - 9} = \frac{225 - 75}{6} =25[/m]
При x < 3 будет y' > 0 - функция возрастает.
При 3 < x < 9 будет y' < 0 - функция убывает.
Значит, M1(3; 1) - точка максимума.
При 9 < x < 15 будет y' < 0 - функция убывает.
При x > 15 будет y' > 0 - функция возрастает.
Значит, M2(15; 25) - точка минимума.
График представлен на рисунке.
Вертикальная асимптота x = 9 нарисована зеленым цветом.