Задача 68906 Случайная величина Х задана функцией...
Условие
Решение
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x <0\\a\cdot (-sinx), если 0<x≤\frac{π}{2} \\0, если x >\frac{π}{2} \end{matrix}\right.[/m]
По свойству плотности вероятностей:
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞ }f(x)dx=1[/m]
Так как функция задана на трех промежутках, то
[m]∫ ^{+ ∞ }_{- ∞}f(x)dx=∫ ^{0 }_{- ∞}0dx+∫^{\frac{π}{2} }_{0 }a\cdot (-sinx)dx+∫ ^{+ ∞ }_{\frac{π}{2}} 0dx=1[/m]
[m]∫ ^{\frac{π}{2} }_{0 }a\cdot (-sinx)dx=1[/m]
⇒
[m]-a∫ ^{\frac{π}{2} }_{0 }sinxdx=1[/m]
[m]-a(-cosx)|^{\frac{π}{2} }_{0 }=1[/m]
[m]a(cosx)|^{\frac{π}{2} }_{0 }=1[/m]
[m]a(cos\frac{π}{2}-cos0)=1[/m]
[m]a(0-1)=1[/m]
[m]-a=1[/m]
[m]a=-1[/m]
[m]f(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x <0\\sinx, если 0<x≤\frac{π}{2} \\0, если x >\frac{π}{2} \end{matrix}\right.[/m]
А вот с графиком функции распределения
проблемы...
Скорее всего в условии опечатка.
По определению функция распределения :
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx[/m]
При
[m]x <0[/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }0dx=0[/m]
При
[m] 0<x≤\frac{π}{2} [/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{x}_{0}sinxdx=(-cosx)| ^{x}_{0}=-cosx+cos0=-cosx+1[/m]
При
[m] x>\frac{π}{2} [/m]
[m]F(x)= ∫ ^{x}_{- ∞ }f(x)dx=∫ ^{0}_{- ∞ }0dx+∫ ^{\frac{π}{2}}_{0}sinxdx+∫^{x}_ {\frac{π}{2}}0dx=(-cosx)| ^{\frac{π}{2}}_{0}=-cos\frac{π}{2}+cos0=-0+1=1[/m]
И тогда
[m]F(x)=\left\{\begin{matrix}
0,если x <0\\-cosx+1, если 0<x≤\frac{π}{2} \\1, если x >\frac{π}{2} \end{matrix}\right.[/m]
Вот теперь все хорошо
