Задача 68878 Найти пределы числовых...
Условие
математика колледж
232
Решение
★
Обозначим
[m] a_{n}=\frac{1}{2^{n-1}}[/m]
Докажем, что
[m] lim_{n → ∞ }a_{n}=lim_{n → ∞ }\frac{1}{2^{n-1}}=0[/m]
Расcматриваем
[m]|a_{n}-0|=|\frac{1}{2^{n-1}}-0|=\frac{1}{2^{n-1}}[/m]
Проверяем выполнение неравенства
[m]|a_{n}-0|< ε [/m]
[m]\frac{1}{2^{n-1}}< ε [/m]
[m]2^{n-1}>\frac{1}{ ε }[/m]
Для любого [m] ε>0[/m]
Логарифмируем неравенство:
[m]log_{2}2^{n-1}>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]
получаем неравенство для n
[m]n-1>log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]
[m]n>1+log_{2}\frac{1}{ ε }[/m]
Достаточно выбрать номер
[m]n_{ε }=[1+log_{2}\frac{1}{ ε }]+1[/m]