Задача 68841 Проведите полное исследование функции...
Условие
график.
Решение
2)
Функция является четной, так как область определения симметрична относительно начала координат
y(-x)=((-x)^2+1)/((-x)^2-1)
y(-x)=(x^2+1)/(x^2-1)=y(x)
3)
Так как в область определения не входят х=-1 и х=1
значит прямые х=-1 и х=1 возможные вертикальные асимптоты
Чтобы убедиться в этом
Находим
[m]lim_{x → -1 }\frac{x^2+1}{x^2-1}[/m]= ∞
Обратная бесконечно малой, является бесконечно большой (2/бесконечно малую)
[m]lim_{x → 1 }\frac{x^2+1}{x^2-1}[/m]= ∞
⇒
Прямые х= ±1 являются вертикальными асимптотами.
Находим
[m]lim_{x → ∞ }\frac{x^2+1}{x^2-1}=[/m]=( ∞ / ∞ )
Делим на x^2 и числитель и знаменатель:
[m]lim_{x → ∞ }\frac{1+\frac{1}{x^2}}{1-\frac{1}{x^2}}=\frac{1+0}{1-0}=1[/m]
Прямая y=1 является горизонтальной асимптотой.
4) Точки пересечения с осями координат
[b]C осью Ох:[/b]
y=0
x^2+1=0
уравнение не имеет корней
Точки пересечения с осью Ох нет
[b]C осью Оy:[/b]
x=0
y=-1
(0;-1) - точка пересечения с осью Оу
Исследование функции с помощью производной:
y`=(x^2+1)`*(x^2-1)-(x^2+1)*(x^2-1)`/(x^2-1)^2
y`=(2x*(x^2-1)-(x^2+1)*2x)/(x^2-1)^2
y`=(2x^3-2x-2x^3-2x)/(x^2-1)^2
y`=(-4x)/(x^2-1)^2
y`=0
x=0- точка максимума, производная меняет знак с + на -
y`>0 при x∈ (- ∞ ;-1) и x∈ (-1;+0)
Функция возрастает при x∈(- ∞ ;-1) и x∈ (-1;+0)(- ∞ ;0) и x∈ (2;+ ∞)
y`<0 при х ∈ (0;1) и x∈ (1;+ ∞)
Функция убывает при х ∈ (0;1) и x∈ (1;+ ∞)
7)y``=(-4x/(x^2-1)^2)`
( см. приложение)
y`` <0 на (-1 ;1)
функция выпукла вверх ( ∩ )
на (-1 ;1)
y`` >0 на на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
функция выпукла вниз ( ∪ )
на (- ∞ ;-1) и на (1;+ ∞ )
