Задача 68840 Найдите точки перегиба, интервалы...
Условие
функций:
Решение
[m]\left\{\begin {matrix}x ≥ 0\\4-x>0\end {matrix}\right.[/m] ⇒ [b]x ∈ [0;4)[/b]
[m]y`=(\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}})`=\frac{(x^{\frac{3}{2}})`\cdot \sqrt{4-x}-x^{\frac{3}{2}}(\sqrt{4-x})`}{(\sqrt{4-x})^2}=
\frac{\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{4-x}-x^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}}\cdot (4-x)`}{(\sqrt{4-x})^2}=[/m]
[m]=\frac{\frac{3}{2}\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{4-x}-x^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}}\cdot (-1)}{(\sqrt{4-x})^2}
=\frac{3\cdot x^{\frac{1}{2}}\cdot \sqrt{4-x}}{2(\sqrt{4-x})^2}+x^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}\cdot (\sqrt{4-x})^2}
=\frac{3\cdot x^{\frac{1}{2}}}{2\sqrt{4-x}}+x^{\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{4-x}\cdot (\sqrt{4-x})^2}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{4-x}}\cdot (1+\frac{x}{4-x})[/m]
y`>0
при любых x ∈ [0;4)
Функция возрастает на [0;4)
и принимает в точке х=0 наименьшее значение y=0
x=4 - [i]вертикальная асимптота[/i], так как
[m]lim_{x → 4-0}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{4-x}}=+ ∞ [/m]
Чтобы найти точки перегиба и интервалы выпуклости,находим
[m]y``=(y`)`=...[/m]
Считайте...
Функция [i]выпукла вниз[/i] на [b][0;4)[/b]
Точек перегиба нет