Задача 68837 Известны длины сторон треугольника АВС:...

63d957371384e85cae2c3e8e

31.01.2023 21:01:08

Известны длины сторон треугольника АВС: АВ = 12, ВС = 15, СА = 16. на стенке B отмечена точка Х так, чтобы АХ =2xb, на стенке ВС отмечена точка Y так, чтобы 2BY = 3yc. Как узнать длину отрезка ХУ?

626fab9a354ab65fb2f43abb

31.01.2023 23:09:26

★

Рисунок прилагается.
AB = 12; BC = 15; CA = 16
AX = 2*XB; 2*BY = 3*YC
Найти XY.
Решение:
Найдем угол B по теореме косинусов:
CA^2 = AB^2 + BC^2 - 2*AB*BC*cos B
16^2 = 12^2 + 15^2 - 2*12*15*cos B
256 = 144 + 225 - 360*cos B
cos B = (144 + 225 - 256)/360 = 113/360
Теперь находим стороны XB и BY:
AX = 2*XB, значит, XB = AB/3 = 12/3 = 4
2*BY = 3*YC, значит, BY = 3/5*BC; YC = 2/5*BC
BY = 3/5*BC = 3/5*15 = 3*3 = 9
И теперь находим XY по той же теореме косинусов:
XY^2 = XB^2 + BY^2 - 2*XB*BY*cos B
XY^2 = 4^2 + 9^2 - 2*4*9*113/360 = 16 + 81 - 22,6 = 74,4
[b]XY = sqrt(74,4) ≈ 8,6255[/b]