Задача 68821 Дана система трех линейных уравнений с...

63d912a3559dd9424a1cc9c3

31.01.2023 16:17:19

Дана система трех линейных уравнений с тремя неизвест-ными. Требуется залисать систему в матричной форме и решить ее средствами матричного исчисления.

27 номер

5f3ea7e3faf909182968ddd9

01.02.2023 14:04:24

★

Уравнение в матричном виде:

[m]\begin {bmatrix} 1&1&-1\\8&3&-6\\4&1&-3\end {bmatrix}\cdot \begin {bmatrix} x\\y\\z\end {bmatrix}[/m]= [m]\begin {bmatrix} 1\\2\\3\end {bmatrix}[/m]

Решение уравнения в матричном виде:

[m]\begin {bmatrix} x\\y\\z\end {bmatrix}=(\begin {bmatrix} 1&1&-1\\8&3&-6\\4&1&-3\end {bmatrix})^{-1}\cdot \begin {bmatrix} 1\\2\\3\end {bmatrix}[/m]


Ответ на вопрос задания состоит в том, чтобы

1)
Найти обратную матрицу [m](\begin {bmatrix} 1&1&-1\\8&3&-6\\4&1&-3\end {bmatrix})^{-1}[/m]


2)
Умножить ее на матрицу [m] \begin {bmatrix} 1\\2\\3\end {bmatrix}[/m]


Так как [m]\begin {vmatrix} 1&1&-1\\8&3&-6\\4&1&-3\end {vmatrix}=-9-24-8+12+6+24=1 ≠0 [/m]

Обратная матрица существует

Обратную матрицу можно находить разными способами: методом алгебраических дополнений, методом Гаусса

Метод Гаусса ( метод элементарных преобразований)
Припишем справа к матрице A размера 3× 3 единичную матрицу размера 3× 3
Получим матрицу размера 3× 6
вида(A|E)
Можно выполнять элементарные преобразования:
- менять местами две строки;
-умножение всех элементов строки на некоторое число, не равное нулю;
-прибавлять к элементам одной строки соответствующие элементов другой строки, умноженных на любой множитель.
Цель указанных выше преобразований: привести матрицу (A|E) к виду: (E|A^(-1))


[m]\begin {bmatrix} 1&1&-1&1&0&0\\8&3&-6&0&1&0\\4&1&-3&0&0&1\end {bmatrix}[/m]=
от второй строки отнимаем первую, умноженную на (-1)
от третьей строки отнимаем первую, умноженную на 4
[m]\begin {bmatrix} 1&1&-1&1&0&0\\0&-5&2&-8&1&0\\0&-3&1&-4&0&1\end {bmatrix}[/m]=

Делим вторую строку на (-5)

[m]\begin {bmatrix} 1&1&-1&1&0&0\\0&1&-0,4&1,6&-0,2&0\\0&-3&1&-4&0&1\end {bmatrix}[/m]=

от первой строки отнимаем вторую
к третьей строке прибавляем вторую, умноженную на 0,4

=[m]\begin {bmatrix} 1&0&-0,6& -0,6&0,2&0\\0&1&-0,4&1,6&-0,2&0\\0&0&-0,2&0,8&-0,6&1\end {bmatrix}[/m]

третью строку делим на (-0,2):

=[m]\begin {bmatrix} 1&0&-0,6& -0,6&0,2&0\\0&1&-0,4&1,6&-0,2&0\\0&0&1&-4&3&-5\end {bmatrix}[/m]

к первой строке добавляем третью, умноженную на 0,6
ко второй строке добавляем третью, умноженную на 0,4
[m]\begin {bmatrix} 1&0&0& -3&2&-3\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&-4&3&-5\end {bmatrix}[/m]


Итак:
[m](\begin {bmatrix} 1&1&-1\\8&3&-6\\4&1&-3\end {bmatrix})^{-1}=\begin {bmatrix} -3&2&-3\\0&1&-2\\-4&3&-5\end {bmatrix}[/m]


Находим решение:
[m]\begin {bmatrix} x\\y\\z\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} -3&2&-3\\0&1&-2\\-4&3&-5\end {bmatrix}\cdot \begin {bmatrix} 1\\2\\3\end {bmatrix}= \begin {bmatrix} -3\cdot 1+2\cdot 2+(-3)\cdot 3\\0\cdot 1+1\cdot 2+(-2)\cdot 3\\-4\cdot 1+3\cdot 2+(-5)\cdot 3\end {bmatrix}=\begin {bmatrix} -8\\-4\\-13\end {bmatrix}=[/m] - ответ