Задача 68817 Вычислить интеграл, если можно с...

63d6bee39d32227b19ae4403

31.01.2023 14:27:55

Вычислить интеграл, если можно с пояснениями для понимания.

5f3ea7e3faf909182968ddd9

31.01.2023 14:35:51

★

Раскладываем подынтегральную дробь на простейшие методом неопределенных коэффициентов:

[m]\frac{3x-2}{(x+1)(x^2+3x+5)}=\frac{A}{x+1}+\frac{Mx+N}{x^2+3x+5}[/m]

Приводим правую часть к общему знаменателю:

[m]\frac{3x-2}{(x+1)(x^2+3x+5)}=\frac{A(x^2+3x+5)+(Mx+N)(x+1)}{(x+1)(x^2+3x+5)}[/m]

Приравниваем числители:

[m]3x-2=A(x^2+3x+5)+(Mx+N)(x+1)[/m]

Находим коэффициенты методом равенства двух многочленов:

[m]3x-2=Ax^2+3Ax+5A)+Mx^2+Nx+Mx+N[/m]

[m]3x-2=(A+M)x^2+(3A+N+M)x+5A+N[/m]

[m]A+M=0[/m] ⇒ [m]M=-A[/m] подставляем во второе

[m]3A+N+M=3[/m]

[m]5A+N=-2[/m] ⇒ [m] N=-2-5A[/m] подставляем во второе

Решаем систему трех уравнений
{[m]M=-A[/m] ⇒ [m]M=\frac{5}{3}[/m]
{[m]3A+(-2-5A)+(-A)=3[/m] ⇒ [m]A=-\frac{5}{3}[/m]
{[m] N=-2-5A[/m] ⇒ [m] N=-2-5\cdot (-\frac{5}{3})[/m] ⇒ [m] N=\frac{19}{3}[/m]